Matematyka.pl

Witam serdecznie, głowię się nad następującym zadaniem

Wyznacz te wartości parametru m, dla których równanie
\(\displaystyle{ x-x^3+x^5-...=m+m^2+m^3+...}\)
ma rozwiązania, jeżeli wyrażenia po obu stronach równania są szeregami geometrycznymi zbieżnymi.

Mój tok rozumowania po kolei

\(\displaystyle{ q_1=-x^2 \\
|q_1|<1 \\
-x^2<1\wedge-x^2>-1}\)

\(\displaystyle{ x\in(-1;1)}\)

\(\displaystyle{ S_1= \frac{x}{1+x^2}}\)

oraz

\(\displaystyle{ q_2=m \\
|q_2|<1 \\
m<1\wedge m>-1}\)

\(\displaystyle{ m\in(-1;1)}\)

\(\displaystyle{ S_2=\frac{m}{1-m}}\)

\(\displaystyle{ x-x^3+x^5-...=m+m^2+m^3+... \\
\frac{x}{1+x^2}=\frac{m}{1-m} \\
x-mx=m+mx^2 \\
mx^2+mx-x+m=0 \\
mx^2+(m-1)x+m=0}\)

Szukamy więc takiego \(\displaystyle{ m}\) dla którego równanie posiada rozwiązanie należące do przedziału \(\displaystyle{ (-1;1)}\)

dla
\(\displaystyle{ m=0}\)

\(\displaystyle{ -x=0 \\
x=0\in(-1;1)}\)

więc
\(\displaystyle{ m=0}\)

dla
\(\displaystyle{ m\ne0}\)

wydaję mi się, że takie założenia będą poprawne
\(\displaystyle{ \Delta \ge 0 \wedge x_1>-1\wedge x_2<1}\)

przy czym
\(\displaystyle{ x_1<x_2}\)

wyznaczyłem sobie pierwiastki równania, ale wychodzą bardzo dziwne obliczenia.
Czy ktoś ma inny pomysł co do warunków?

wolder pisze: wydaję mi się, że takie założenia będą poprawne
\(\displaystyle{ \Delta \ge 0 \wedge x_1>-1\wedge x_2<1}\)

Ten warunek trzeba sobie zagwarantować przy pomocy wzorów Viete'a. Hint: inny będzie dla \(\displaystyle{ \Delta >0}\) a inny dla \(\displaystyle{ \Delta=0}\)

Wierzchołek musi należeć do \(\displaystyle{ (-1;1)}\)
Jeżeli ramiona są w górę, to \(\displaystyle{ f(-1)<0 \wedge f(1)<0}\)
Jeżeli ramiona są w dól, to \(\displaystyle{ f(-1)>0 \wedge f(1)>0}\)