Wyznacz dokłądną sume:
\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{ \infty }(\arccos( \frac{1}{n+1} )-\arccos( \frac{1}{n+3} )).}\)
Wyznaczyłem sobie, że \(\displaystyle{ f(x) = \arccos( \frac{1}{x+1} )}\) i \(\displaystyle{ f(x+2) = \arccos( \frac{1}{x+3} ).}\)
Wiem jak postępować kiedy skok jest jeden, a jak jest np jak tutaj dwa? Jest jakaś ogólna reguła dla takich sum?
Sumy teleskopowe
-
NumberTwo
- Użytkownik
- Posty: 95
- Rejestracja: 20 sty 2021, o 10:40
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 18
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 1 raz
Sumy teleskopowe
Ostatnio zmieniony 26 kwie 2024, o 21:05 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 3 razy.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd. Poprawa wiadomości.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd. Poprawa wiadomości.
-
Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4079
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 80 razy
- Pomógł: 1396 razy
Re: Sumy teleskopowe
Można dwa razy zaburzyć sumę:
\(\displaystyle{
\begin{split}
\sum_{k=m}^{M}a_k& =a_m-a_{M+1}+ \sum_{k=m}^{M}a_{k+1}\\
&= a_m-a_{M+1}+ a_{m+1}-a_{M+2} + \sum_{k=m}^{M} a_{k+2}.
\end{split}
}\)
Wzór na ogólne teleskopujące się sumy staje się teraz jasny.\begin{split}
\sum_{k=m}^{M}a_k& =a_m-a_{M+1}+ \sum_{k=m}^{M}a_{k+1}\\
&= a_m-a_{M+1}+ a_{m+1}-a_{M+2} + \sum_{k=m}^{M} a_{k+2}.
\end{split}
}\)