Suma z potęgą
- mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11415
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3155 razy
- Pomógł: 748 razy
Suma z potęgą
Obliczyć \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} {n+k \choose k} \left(\frac{2}{3} \right)^n }\), gdzie \(\displaystyle{ k}\) jest ustalone.
Ostatnio zmieniony 15 sie 2023, o 17:27 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
-
- Użytkownik
- Posty: 43
- Rejestracja: 28 maja 2023, o 15:40
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 19
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 2 razy
Re: Suma z potęgą
\[S = \sum_{n=0}^{\infty} \left(\frac{2}{3}\right)^n.\]
To jest nieskończony szereg geometryczny o pierwszym wyrazie \(a = 1\) i ilorazie \(r = \frac{2}{3}\). Suma takiego szeregu wynosi 3.
możemy to podstawić do sumy z wyrażeniem kombinatorycznyn:
\[\sum_{n=1}^{\infty} {n+k \choose k} \left(\frac{2}{3}\right)^n = \sum_{n=0}^{\infty} {n+k \choose k} \left(\frac{2}{3}\right)^n - {k+k \choose k} \left(\frac{2}{3}\right)^0 = 3 - 1 = 2.\]
Ostatecznie \(\sum_{n=1}^{\infty} {n+k \choose k} \left(\frac{2}{3}\right)^n = 2\) dla ustalonego k.
To jest nieskończony szereg geometryczny o pierwszym wyrazie \(a = 1\) i ilorazie \(r = \frac{2}{3}\). Suma takiego szeregu wynosi 3.
możemy to podstawić do sumy z wyrażeniem kombinatorycznyn:
\[\sum_{n=1}^{\infty} {n+k \choose k} \left(\frac{2}{3}\right)^n = \sum_{n=0}^{\infty} {n+k \choose k} \left(\frac{2}{3}\right)^n - {k+k \choose k} \left(\frac{2}{3}\right)^0 = 3 - 1 = 2.\]
Ostatecznie \(\sum_{n=1}^{\infty} {n+k \choose k} \left(\frac{2}{3}\right)^n = 2\) dla ustalonego k.
-
- Użytkownik
- Posty: 22211
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3755 razy
Re: Suma z potęgą
Jasne. Tylko że ani \(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty} {n+k \choose k} \left(\frac{2}{3}\right)^n}\) nie jest równe `3`, ani \(\displaystyle{ {k+k \choose k} \left(\frac{2}{3}\right)^0}\) nie jest równe `1`