Matematyka.pl

Mam taki szereg:

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } = n \cdot \left( \frac{i+1}{2} \right) ^{n}}\)

Treść polecenia brzmi: zbadaj zbieżność i wyznacz sumę jeśli to możliwe.


Na początku chciałam zająć się tylko częścią:
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } = \left( \frac{i+1}{2} \right) ^{n}}\)
Mogę pokolei wypisywać wyrazy:

\(\displaystyle{ a_{1} =\frac{i+1}{2}}\)
\(\displaystyle{ a_{1} =\frac{i+1}{2} \cdot \frac{i+1}{2}}\)
...

Ilorazem jest :
\(\displaystyle{ q=\frac{i+1}{2}}\)

Jeśli pokażę, że \(\displaystyle{ \left| q\right|<1}\) to w łatwy sposób wyzmaczę sumę, która będzie dana wzorem \(\displaystyle{ \frac{q}{1-q}}\)

Tu pojawia się moje pytanie, czy rzeczywiście:

\(\displaystyle{ \left| \frac{i+1}{2} \right|<1}\) ?

Przyjmując, że tak suma szeregu będzie równa \(\displaystyle{ i}\), bo:

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } = \left( \frac{i+1}{2} \right) ^{n}=\frac{ \frac{1+i}{2} }{1-( \frac{1+i}{2} )}=i}\)

Tu moje pomysły się kończą, proszę o pomoc -- 29 sty 2015, o 15:07 --Zaproponowane przez Ciebie rozwiązanie wydaje się być proste, szybkie i skuteczne ... ale nie wie czy prawdziwe.

Odpowiedzi w podręczniku do tego zadania wynosi: \(\displaystyle{ i-1}\)

Licząc Twoim sposobem taka suma nie wychodzi. Być może w książce jest błąd.

\(\displaystyle{ \left|\frac{i+1}{2}\right| = \frac{1}{2}\sqrt{1^{2}+1^{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} < 1}\)

Ten szereg możesz policzyć z pochodnej:

\(\displaystyle{ \left(\sum_{n=1}^{ \infty }z^{n+1}\right)' = \sum_{n=1}^{\infty }(n+1)z^{n}}\)

Więc:

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty }nz^{n} = \left(\sum_{n=1}^{ \infty }z^{n+1}\right)' - \sum_{n=1}^{ \infty }z^{n}}\)

Wystarczy podstawić wzór na szereg geometryczny, zróżniczkować po \(\displaystyle{ z}\) a na końcu podstawić \(\displaystyle{ z = \frac{i+1}{2}}\)