Suma nieskończonego ciągu pól
-
Kamil132111
- Użytkownik
- Posty: 7
- Rejestracja: 14 mar 2024, o 14:27
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 19
Suma nieskończonego ciągu pól
Dany jest trójkąt równoboczny \(\displaystyle{ T_1}\) o boku \(\displaystyle{ a}\). W ten trójkąt wpisujemy trójkąt równoboczny \(\displaystyle{ T_2}\) tak, że każdy wierzchołek trójkąta \(\displaystyle{ T_2}\) należy do innego boku trójkąta \(\displaystyle{ T_1}\) i kąt ostry \(\displaystyle{ \alpha}\) między bokami trójkątów \(\displaystyle{ T_1}\) i \(\displaystyle{ T_2}\) wynosi \(\displaystyle{ 30^\circ.}\) W ten trójkąt wpisujemy analogicznie trójkąt \(\displaystyle{ T_3}\), itd. (patrz rysunek). Ile wynosi suma nieskończonego ciągu pól wszystkich utworzonych w ten sposób trójkątów?
- Załączniki
-
- obraz_2024-03-22_195413087.png (27.52 KiB) Przejrzano 389 razy
Ostatnio zmieniony 22 mar 2024, o 20:23 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Brak LaTeX-a. Proszę zapoznać się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm. Literówka w temacie.
Powód: Brak LaTeX-a. Proszę zapoznać się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm. Literówka w temacie.
-
Kamil132111
- Użytkownik
- Posty: 7
- Rejestracja: 14 mar 2024, o 14:27
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 19
Re: Suma nieskończonego ciągu pól
\(\displaystyle{ \frac23 a}\) ?
Ostatnio zmieniony 27 mar 2024, o 20:45 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Używaj LaTeXa do wszystkich wyrażeń matematycznych.
Powód: Używaj LaTeXa do wszystkich wyrażeń matematycznych.
-
Jan Kraszewski
- Administrator
- Posty: 34296
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Re: Suma nieskończonego ciągu pól
Nie (to nie jest długość boku trójkąta \(\displaystyle{ T_2}\), tylko długość czegoś innego...).
JK
JK
-
a4karo
- Użytkownik
- Posty: 22211
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3755 razy
Re: Suma nieskończonego ciągu pól
To zadane jest ładne, bo robi sie je bez żadnych rachunków 
Jeżeli przez `t_i` oznaczymy również pole trójkąta `T_i`, to widzimy, że
`t_1=3p+t_2`, gdzie `p` jest polem trójkąta prostokątnego. Jeżeli złożymy dwa takie trójkąty, to dostaniemy trójkąt równoboczny, którego wysokość jest taka sama jak długość boku trójkąta `T_2`. Stosunek pola tego trójkąta do pola trójkąta `T_2` jest taka sama jak kwadrat stosunku boku trójkąta równobocznego do jego wysokości, czyli `4/3`. Innymi słowy `{2p}/t_2=4/3`. Zatem `t_1=3t_2`. I taka sama jest zależność między `t_{n+1}` i `t_n`.
Jeżeli przez `t_i` oznaczymy również pole trójkąta `T_i`, to widzimy, że
`t_1=3p+t_2`, gdzie `p` jest polem trójkąta prostokątnego. Jeżeli złożymy dwa takie trójkąty, to dostaniemy trójkąt równoboczny, którego wysokość jest taka sama jak długość boku trójkąta `T_2`. Stosunek pola tego trójkąta do pola trójkąta `T_2` jest taka sama jak kwadrat stosunku boku trójkąta równobocznego do jego wysokości, czyli `4/3`. Innymi słowy `{2p}/t_2=4/3`. Zatem `t_1=3t_2`. I taka sama jest zależność między `t_{n+1}` i `t_n`.