suma nieskończona szeregu z silnią w mianowniku
-
- Użytkownik
- Posty: 34
- Rejestracja: 21 lis 2020, o 23:01
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 29
- Podziękował: 11 razy
suma nieskończona szeregu z silnią w mianowniku
cześć,
proszę o pomoc z obliczeniem jak w temacie:
\(\displaystyle{ \sum_{r=1}^{ \infty } \frac{2r}{(r+1)!} }\)
proszę o pomoc z obliczeniem jak w temacie:
\(\displaystyle{ \sum_{r=1}^{ \infty } \frac{2r}{(r+1)!} }\)
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4079
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 80 razy
- Pomógł: 1396 razy
Re: suma nieskończona szeregu z silnią w mianowniku
Hint:
\(\displaystyle{
\begin{split}
\sum_{r=1}^{N } \frac{r}{(r+1)!} & = \sum_{r=1}^{ N } \left( \frac{1}{r!} - \frac{1}{(r+1)!} \right) \\
& = 1 - \frac{1}{(N+1)!} \to 1.
\end{split}
}\)
\begin{split}
\sum_{r=1}^{N } \frac{r}{(r+1)!} & = \sum_{r=1}^{ N } \left( \frac{1}{r!} - \frac{1}{(r+1)!} \right) \\
& = 1 - \frac{1}{(N+1)!} \to 1.
\end{split}
}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 34
- Rejestracja: 21 lis 2020, o 23:01
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 29
- Podziękował: 11 razy
Re: suma nieskończona szeregu z silnią w mianowniku
dzięki! mogę prosić jakieś wyprowadzenie tego/ dowód?
-
- Administrator
- Posty: 34316
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5204 razy
Re: suma nieskończona szeregu z silnią w mianowniku
Przecież tam jest całe wyprowadzenie. Którego fragmentu nie rozumiesz?
JK
-
- Użytkownik
- Posty: 7920
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Re: suma nieskończona szeregu z silnią w mianowniku
\(\displaystyle{ \sum_{r=1}^{\infty} \frac{2r}{(r+1)!} = 2\sum_{r=1}^{\infty} \frac{r}{(r+1)!} = 2\sum_{r=1}^{\infty} \frac{r+1 -1}{(r+1)!} = 2\sum_{r=1}^{\infty} \frac{r+1}{(r+1)!} - 2 \sum_{r=1}^{\infty} \frac{1}{(r+1)!} = 2\sum_{r=1}^{\infty}\frac{1}{r!} - 2 \sum_{r=1}^{\infty}\frac{1}{(r+1)!} = 2(e-1)-2(e-2)= 2. }\)
gdzie \(\displaystyle{ e = \sum_{r=0}^{\infty} \frac{1}{r!}.}\)
gdzie \(\displaystyle{ e = \sum_{r=0}^{\infty} \frac{1}{r!}.}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 34
- Rejestracja: 21 lis 2020, o 23:01
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 29
- Podziękował: 11 razy
Re: suma nieskończona szeregu z silnią w mianowniku
Chodziło mi p coś takiego jak zrobił janusz47Jan Kraszewski pisze: ↑16 lip 2023, o 12:31Przecież tam jest całe wyprowadzenie. Którego fragmentu nie rozumiesz?
JK
Dodano po 25 sekundach:
O super! Dziękuje bardzojanusz47 pisze: ↑16 lip 2023, o 17:28\(\displaystyle{ \sum_{r=1}^{\infty} \frac{2r}{(r+1)!} = 2\sum_{r=1}^{\infty} \frac{r}{(r+1)!} = 2\sum_{r=1}^{\infty} \frac{r+1 -1}{(r+1)!} = 2\sum_{r=1}^{\infty} \frac{r+1}{(r+1)!} - 2 \sum_{r=1}^{\infty} \frac{1}{(r+1)!} = 2\sum_{r=1}^{\infty}\frac{1}{r!} - 2 \sum_{r=1}^{\infty}\frac{1}{(r+1)!} = 2(e-1)-2(e-2)= 2. }\)
gdzie \(\displaystyle{ e = \sum_{r=0}^{\infty} \frac{1}{r!}.}\)
-
- Administrator
- Posty: 34316
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5204 razy
Re: suma nieskończona szeregu z silnią w mianowniku
I znów janusz47 zwolnił kogoś z konieczności pomyślenia...
JK
JK
-
- Użytkownik
- Posty: 22225
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3757 razy
Re: suma nieskończona szeregu z silnią w mianowniku
Nie zwolnił, tylko zamieszał. Żeby móc wykonywać takie przekształcenia, trzeba najpierw przynajmniej wspomnieć dlaczego wolno to robić.Jan Kraszewski pisze: ↑16 lip 2023, o 19:59 I znów janusz47 zwolnił kogoś z konieczności pomyślenia...
JK
-
- Użytkownik
- Posty: 7920
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Re: suma nieskończona szeregu z silnią w mianowniku
Jak nie wiesz dlaczego wykonuje się takie przekształcenia i nie znasz własność dddytywności sumy, to poczytaj sobie na przykład w miłej książce Konrada Knoppa. Szeregi Nieskończone.
-
- Użytkownik
- Posty: 22225
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3757 razy
Re: suma nieskończona szeregu z silnią w mianowniku
Ja wiem. I dlatego mam pretensje, że nie napisałeś uzasadnień. Może tego nie wiesz, ale z addytywnoscia w nieskończonych szeregach różne cuda można pokazać