Sin i Cos
- arek1357
- Użytkownik
- Posty: 5749
- Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: blisko
- Podziękował: 131 razy
- Pomógł: 526 razy
Re: Sin i Cos
Ze wzoru Eulera:
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{\sin (2n) \cdot \cos (3n)}{n} = \frac{1}{4i} \left( \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{e^{i5n}}{n}+ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{e^{-in}}{n} - \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{e^{in}}{n} - \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{e^{-i5n}}{n}\right) }\)
jeżeli teraz weźmiemy:
\(\displaystyle{ f(x)= \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{e^{inx}}{n} }\)
\(\displaystyle{ f'(x)=i \sum_{n=1}^{ \infty } e^{inx}=- \frac{e^{ix}}{1-e^{ix}} }\)
z tego:
\(\displaystyle{ f(x)=-\ln (1-e^{ix})}\)
Oczywiście założenia dla \(\displaystyle{ x}\) kiedy ten szereg jest zbieżny są istotne bo nie dla wszystkich będzie zbieżny ale nie będę już tego robił...
Więc otrzymamy, że:
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{e^{ixn}}{n} =-\ln(1-e^{ix})}\)
otrzymamy:
\(\displaystyle{ \frac{1}{4i} \left[ -\ln (1-e^{5i}) -\ln (1-e^{-i}) + \ln (1-e^{-5i} +\ln (1-e^{-i}) \right] }\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{4i} \ln \frac{1-e^{-5i}}{1-e^{5i}} + \ln \frac{1-e^{i}}{1-e^{-i}} = \frac{1}{4i} \left[ \ln (-e^{-5i})+\ln (-e^i) \right] = \frac{1}{4i} \ln e^{-4i}=-1}\)
O ile gdzieś się nie pomyliłem...
Dodano po 5 godzinach 20 minutach 56 sekundach:
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{\sin (2n) \cdot \cos (3n)}{n} = \frac{1}{4i} \left( \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{e^{i5n}}{n}+ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{e^{-in}}{n} - \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{e^{in}}{n} - \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{e^{-i5n}}{n}\right) }\)
jeżeli teraz weźmiemy:
\(\displaystyle{ f(x)= \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{e^{inx}}{n} }\)
\(\displaystyle{ f'(x)=i \sum_{n=1}^{ \infty } e^{inx}=- \frac{e^{ix}}{1-e^{ix}} }\)
z tego:
\(\displaystyle{ f(x)=-\ln (1-e^{ix})}\)
Oczywiście założenia dla \(\displaystyle{ x}\) kiedy ten szereg jest zbieżny są istotne bo nie dla wszystkich będzie zbieżny ale nie będę już tego robił...
Więc otrzymamy, że:
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{e^{ixn}}{n} =-\ln(1-e^{ix})}\)
otrzymamy:
\(\displaystyle{ \frac{1}{4i} \left[ -\ln (1-e^{5i}) -\ln (1-e^{-i}) + \ln (1-e^{-5i} +\ln (1-e^{-i}) \right] }\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{4i} \ln \frac{1-e^{-5i}}{1-e^{5i}} + \ln \frac{1-e^{i}}{1-e^{-i}} = \frac{1}{4i} \left[ \ln (-e^{-5i})+\ln (-e^i) \right] = \frac{1}{4i} \ln e^{-4i}=-1}\)
O ile gdzieś się nie pomyliłem...
Dodano po 5 godzinach 20 minutach 56 sekundach:
-
- Użytkownik
- Posty: 22219
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3755 razy
Re: Sin i Cos
Na serio uważasz, że szereg złozony z wyrazów o module `1` może być zbieżny?arek1357 pisze: ↑31 sty 2024, o 16:52 Ze wzoru Eulera:
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{\sin (2n) \cdot \cos (3n)}{n} = \frac{1}{4i} \left( \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{e^{i5n}}{n}+ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{e^{-in}}{n} - \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{e^{in}}{n} - \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{e^{-i5n}}{n}\right) }\)
jeżeli teraz weźmiemy:
\(\displaystyle{ f(x)= \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{e^{inx}}{n} }\)
\(\displaystyle{ f'(x)=i \sum_{n=1}^{ \infty } e^{inx}=- \frac{e^{ix}}{1-e^{ix}} }\)
A szkoda. Jak się chcesz zajmować matematyką, to warto jednak pomyśleć
z tego:
\(\displaystyle{ f(x)=-\ln (1-e^{ix})}\)
Oczywiście założenia dla \(\displaystyle{ x}\) kiedy ten szereg jest zbieżny są istotne bo nie dla wszystkich będzie zbieżny ale nie będę już tego robił...
Ostatnio zmieniony 1 lut 2024, o 20:22 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
- arek1357
- Użytkownik
- Posty: 5749
- Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: blisko
- Podziękował: 131 razy
- Pomógł: 526 razy
Re: Sin i Cos
\(\displaystyle{ | \sum_{n=1}^{N} e^{inx}|=| e^{ix}\frac{1-e^{ixN}}{1-e^{ix}} |<= \frac{|e^{ix}-e^{ix}e^{ixN}|}{|1-e^{ix}|} <= \frac{|1|+|1*1|}{|1-e^{ix}|} = \frac{2}{|1-e^{ix}|} }\)
dla:
\(\displaystyle{ x<>2k\pi}\)
Szereg jak widać jest zbieżny, dół jest też ograniczony...
dla:
\(\displaystyle{ x<>2k\pi}\)
Szereg jak widać jest zbieżny, dół jest też ograniczony...
- arek1357
- Użytkownik
- Posty: 5749
- Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: blisko
- Podziękował: 131 razy
- Pomógł: 526 razy
Re: Sin i Cos
Tak ale skoro na ixach nam za bardzo nie zależy dobieramy se takie ixy aby:
\(\displaystyle{ \sin (nx) }\)
oraz:
\(\displaystyle{ \cos (nx)}\)
Były wybitnie dodatnie a wtedy zbieżnoś być musi...
\(\displaystyle{ \sin (nx) }\)
oraz:
\(\displaystyle{ \cos (nx)}\)
Były wybitnie dodatnie a wtedy zbieżnoś być musi...
- arek1357
- Użytkownik
- Posty: 5749
- Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: blisko
- Podziękował: 131 razy
- Pomógł: 526 razy
Re: Sin i Cos
Nie bredze ale sądzę, że są ixy dla których ten ciąg jest zbieżny i tu nawet nie ma dyskusji tak czy siak czy dodatnie czy ujemne ......
Dodano po 10 minutach 22 sekundach:
\(\displaystyle{ \displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{e^{ixn}}{n} =-\ln(1-e^{ix})}}\)
Czy to jest źle? według ciebie a skoro prawej strony mogę wziąć pochodną to z lewej też...
Dodano po 2 minutach 33 sekundach:
co daje w konsekwencji:
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{\sin (nx)}{n} = \frac{\pi - x}{2} }\)
Dodano po 11 minutach 9 sekundach:
Zresztą jest to szereg geometryczny gdzie moduł ilorazu przy doborze odpowiedniego x będzie mniejszy od jeden i sprawa pozamiatana, tu nie ma o czy gdybać...
Dodano po 9 sekundach:
Zresztą jest to szereg geometryczny gdzie moduł ilorazu przy doborze odpowiedniego x będzie mniejszy od jeden i sprawa pozamiatana, tu nie ma o czy gdybać...
Dodano po 8 godzinach 17 minutach 3 sekundach:
Z tym szeregiem a4karo jakby się nie przyjrzeć masz rację popieram ale jest inne wyjście?
Dodano po 10 minutach 22 sekundach:
\(\displaystyle{ \displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{e^{ixn}}{n} =-\ln(1-e^{ix})}}\)
Czy to jest źle? według ciebie a skoro prawej strony mogę wziąć pochodną to z lewej też...
Dodano po 2 minutach 33 sekundach:
co daje w konsekwencji:
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{\sin (nx)}{n} = \frac{\pi - x}{2} }\)
Dodano po 11 minutach 9 sekundach:
Zresztą jest to szereg geometryczny gdzie moduł ilorazu przy doborze odpowiedniego x będzie mniejszy od jeden i sprawa pozamiatana, tu nie ma o czy gdybać...
Dodano po 9 sekundach:
Zresztą jest to szereg geometryczny gdzie moduł ilorazu przy doborze odpowiedniego x będzie mniejszy od jeden i sprawa pozamiatana, tu nie ma o czy gdybać...
Dodano po 8 godzinach 17 minutach 3 sekundach:
Z tym szeregiem a4karo jakby się nie przyjrzeć masz rację popieram ale jest inne wyjście?
-
- Użytkownik
- Posty: 22219
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3755 razy
Re: Sin i Cos
Nawet najsilniejsza wiara nie zmieni faktu, że dla `x` niewspółmiernych z `\pi` zbiory \(\displaystyle{ \{\sin nx: n\in\NN\}}\) oraz \(\displaystyle{ \{\cos nx: n\in\NN\}}\) są gęste w `[-1,1]`, więc dodatniości być nie może.
A dla `x` współmiernych z `\pi` każdy z tych zbiorów jest dyskretny i zawiera zarówno dodatnie jak i ujemne wyrazy (za wyjątkiem przypadku `x=2k\pi`).
Napisać można wszystko. Ale z myślenia nic nie zwalniaarek1357 pisze:Zresztą jest to szereg geometryczny gdzie moduł ilorazu przy doborze odpowiedniego x będzie mniejszy od jeden i sprawa pozamiatana, tu nie ma o czy gdybać...
Wzorek \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{e^{ixn}}{n} =-\ln(1-e^{ix})}\) jest fajny (choć nie dla wszystkich `x` - ale przywyczaiłeś nas do tego, że jeżeli założenia nie sa spełnione, to tym gorzej dla założeń), ale po zróżniczkowaniu wyraz po wyrazie po lewej stronie dostaniesz szereg
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } e^{ixn}}\), który jest szeregiem geometrycznym ale zbieżny nie jest, bo nie jest spełniony warunek KONIECZNY zbieżności szeregów.
\(\displaystyle{ \lvert e^{ixn} \rvert=\lvert \cos nx+i\sin nx\rvert=1}\)
- arek1357
- Użytkownik
- Posty: 5749
- Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: blisko
- Podziękował: 131 razy
- Pomógł: 526 razy
Re: Sin i Cos
Wiem masz tu racje tylko szkoda by było ładnego wzorku
Dodano po 19 minutach 46 sekundach:
Dodano po 19 minutach 46 sekundach:
Wiem akurat szkoda to dość smutna prawda...A dla x współmiernych z π każdy z tych zbiorów jest dyskretny i zawiera zarówno dodatnie jak i ujemne wyrazy (za wyjątkiem przypadku x=2kπ).