Matematyka.pl

Mamy następującą funkcję

\(\displaystyle{ f\left( t\right) = \frac{1}{ \sqrt{1 - 2xt + t^2} }}\)

Jak tę funkcję rozwinąć w szereg

Mój pierwszy pomysł to skorzystać z dwumianu Newtona ale mi nie wyszło
Pytanie kolejne czy warto sprowadzać trójmian pod pierwiastkiem do postaci kanonicznej czy lepiej rozwijać w szereg wychodząc z obecnej postaci

To funkcja generująca Legendre Polynomial. Wzór (38).

To, to ja wiem ale chodziło mi o rozwinięcie tej funkcji aby otrzymać wzór na postać ogólną tych wielomianów

Do tej pory widziałem jedynie u Hindusów jak oni rozwijali tę funkcję ale nie lubię ich video bo trudno się połapać co oni robią

Dodano po 1 godzinie 4 minutach 32 sekundach:
Tak jak wcześniej napisałem skorzystałem z dwumianu Newtona

\(\displaystyle{ f\left( t\right) = \frac{1}{ \sqrt{1 - 2xt + t^2} }\\
\left(1+t\left( t-2x\right) \right)^{-\frac{1}{2}} = \sum_{n=0}^{\infty}{-\frac{1}{2} \choose n} t^n\left( t-2x\right)^{n} \\
\left(1+t\left( t-2x\right) \right)^{-\frac{1}{2}} = \sum_{n=0}^{\infty}{-\frac{1}{2} \choose n} t^n\left( \sum_{k=0}^{n}{n \choose k}t^{k}\left( -1\right)^{n-k}\left( 2x\right)^{n-k} \right) \\
\frac{1}{\sqrt{1-2xt+t^2}} = \sum_{n=0}^{ \infty } \sum_{k=0}^{n} {-\frac{1}{2} \choose n} \cdot {n \choose k} \cdot \left(-1\right)^{n-k}\left( 2x\right)^{n-k}t^{n+k} \\
}\)

Można też rozpisać ten symbol Newtona aby nie było w nim ułamka

\(\displaystyle{
{-\frac{1}{2} \choose n} = \frac{-\frac{1}{2}\left(-\frac{1}{2} - 1\right)\left(-\frac{1}{2} - 2\right)\cdot _\cdots\cdot\left( -\frac{1}{2}-\left( n-1\right) \right) }{n!}\\
{-\frac{1}{2} \choose n} =\frac{\left( -1\right)^n }{2^{n}} \cdot \frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot _\cdots \cdot \left( 2n-1\right) }{n!}\\
{-\frac{1}{2} \choose n} =\frac{\left( -1\right)^n }{2^{n}} \cdot \frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot _\cdots \cdot \left( 2n-1\right) \cdot 2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot _\cdots \cdot 2n }{n!\cdot 2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot _\cdots \cdot 2n}\\
{-\frac{1}{2} \choose n} =\frac{\left( -1\right)^n }{2^{n}} \cdot\frac{\left( 2n\right)! }{n! \cdot 2^{n} \cdot n!}\\
{-\frac{1}{2} \choose n} =\frac{\left( -1\right)^n }{2^{2n}}\cdot\frac{\left( 2n\right)!}{n! \cdot \left( 2n-n\right)! }\\
{-\frac{1}{2} \choose n} =\frac{\left( -1\right)^n }{2^{2n}}\cdot {2n \choose n}\\
}\)

\(\displaystyle{
\frac{1}{\sqrt{1-2xt+t^2}} = \sum_{n=0}^{ \infty } \sum_{k=0}^{n} \frac{\left( -1\right)^n }{2^{2n}}\cdot {2n \choose n} \cdot {n \choose k} \cdot \left(-1\right)^{n-k}\left( 2x\right)^{n-k}t^{n+k} \\
\frac{1}{\sqrt{1-2xt+t^2}} = \sum_{n=0}^{ \infty } \sum_{k=0}^{n} {2n \choose n} \cdot {n \choose k} \cdot \frac{\left(-1\right)^{k}}{2^{2n}} \cdot \left( 2x\right)^{n-k}t^{n+k} \\
}\)

To otrzymałem rozwijając w szereg z dwumianu Newtona
Problem w tym że wykładnikiem potęgi \(\displaystyle{ t}\) jest \(\displaystyle{ n+k}\)
a powinno być \(\displaystyle{ n}\) i nie wiem co dalej

Dodano po 15 godzinach 2 minutach 38 sekundach:
Trochę nie rozumiem sensu wpisu tego Janusza
Czy naprawdę myślał że tego nie wiem

Mariusz M pisze: ↑14 lis 2023, o 18:23 Trochę nie rozumiem sensu wpisu tego Janusza
Czy naprawdę myślał że tego nie wiem

A skąd ja mam wiedzieć co Ty wiesz? A tym bardziej czego oczekujesz... chciałeś rozwinięcia i je dostałeś. Jest definicja wielomianów Legendra, równoważna z innymi, więc każda równoważna reprezentacja podstawiona pod \(\displaystyle{ P_n}\) będzie dobra (będzie dobrym rozwinięciem o które pytałeś). Następnym razem proponuję przemyśleć pytanie zanim je zadasz.

Nawet nie przeczytałeś w całości mojego pierwszego wpisu
Może i trzeba było to wprost napisać dla takich którzy chcieliby zabłysnąć tym co znaleźli w Google
No tak tylko z tego rozwinięcia nic nie wynika napisałem już w pierwszym wpisie że próbowałem dwumianu Newtona
Chodziło mi o takie rozwinięcie aby znaleźć wzór na postać ogólną tych wielomianów
Ale to już pisałem
Mógłbyś się w końcu odnieść do mojego poprzedniego wpisu ?

Najpierw wyszedłem z wzoru rekurencyjnego i bez problemu dostałem taką funkcję tworzącą
Problem pojawił się podczas rozwijania bo po zastosowaniu dwumianu Newtona nie otrzymałem
rozwinięcia i trzeba było to dalej przekształcać

Jak masz coś do napisania na temat zwłaszcza dotyczącego poprzedniego wpisu to chętnie przeczytam
bo wpisy zaczynają już zbaczać z tematu

Dodano po 9 godzinach 39 minutach 57 sekundach:
\(\displaystyle{
\frac{1}{\sqrt{1-2xt+t^2}} = \sum_{n=0}^{ \infty } \sum_{k=0}^{n} {2n \choose n} \cdot {n \choose k} \cdot \frac{\left(-1\right)^{k}}{2^{2n}} \cdot \left( 2x\right)^{n-k}t^{n+k} \\
}\)

Pomysł który mógłby zadziałać to przyjęcie nowej zmiennej indeksującej

\(\displaystyle{ m = n + k\\
n = m-k\\
}\)

\(\displaystyle{
\frac{1}{\sqrt{1-2xt+t^2}} = \sum_{m=0}^{ \infty } \sum_{k=0}^{\lfloor\frac{m}{2}\rfloor} {2m-2k \choose m-k} \cdot {m-k \choose k} \cdot \frac{\left(-1\right)^{k}}{2^{2m-2k}} \cdot \left( 2x\right)^{m-2k} \cdot t^{m} \\
\frac{1}{\sqrt{1-2xt+t^2}} = \sum_{m=0}^{ \infty } \sum_{k=0}^{\lfloor\frac{m}{2}\rfloor} {2m-2k \choose m-k} \cdot {m-k \choose k} \cdot \frac{\left(-1\right)^{k}}{2^{m}} \cdot x^{m-2k} \cdot t^{m} \\
}\)

Pozostaje jeszcze uzasadnić dlaczego \(\displaystyle{ 0 \le m < \infty }\) oraz \(\displaystyle{ 0 \le k \le \lfloor\frac{m}{2}\rfloor}\)

I niby powinno to dawać wielomiany Legendre choć programy matematyczne jak Maple czy Mathematica nie umieją tego zwinąć z powrotem do

\(\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt{1-2xt+t^2}}}\)

Zastanawia mnie też przedział zbieżności tego szeregu

Dodano po 7 godzinach 43 minutach 30 sekundach:
Po dalszej reakcji widać że ten Tracz nie miał zamiaru sensownie odpowiedzieć więc po co w ogóle odpisywał

Dodano po 10 dniach 6 godzinach 43 minutach 58 sekundach:
Tracz weź się doucz czym jest circular reasoning a zrozumiesz dlaczego nie chcę przyjać twoich rewelacji