Matematyka.pl

Witajcie, proszę sprawdźcie mnie, czy dobrze rozumiem zadanie:
Wyznacz obszar zbieżności szeregu potęgowego: \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{(-1) ^{n} x ^{2n} }{n}}\)

Robię to tak:
\(\displaystyle{ x ^{2} = t}\)
podstawiam
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{(-1) ^{n} t ^{n} }{n}}\)
z kryterium zbieżności Cauchyego wychodzi mi, że R=1, więc dla t obszar zbieżności jest równy (-1,1) i jak przechodzę na x, uwzględniam warunek, że zmienna t to kwadrat x, więc t musi być nieujemny i w efekcie mój obszar zbieżności szeregu z polecenia to <0,1)?
P.S. chodzi mi o odrzucenie liczb ujemnych, wiem, ze jeszcze należałoby zbadać zbieżność na krańcu przedziału

Nie można odrzucać liczb z przedziału \(\displaystyle{ \left( -1,0\right)}\) bo dla nich szereg też jest zbieżny. Faktem jest że \(\displaystyle{ t\in\left( -1,1\right)}\) i oznacza to tyle że \(\displaystyle{ -1<t<1}\) czyli skoro \(\displaystyle{ t=x^2}\) to do rozwiązania jest \(\displaystyle{ -1<x^2<1}\). Teraz widać że lewa nierówność jest zawsze spełniona więc o przedziale decyduje tylko prawa nierówność. Mamy więc \(\displaystyle{ x^2<1}\) co jest równoważne z \(\displaystyle{ -1<x<1}\). Na koniec trzeba jeszcze sprawdzić końce przedziału.

Oki, już rozumiem!
Dziękuję bardzo!