Obliczyc szereg
- Walczi
- Użytkownik
- Posty: 58
- Rejestracja: 6 sty 2015, o 18:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 5 razy
- Pomógł: 3 razy
Obliczyc szereg
\(\displaystyle{ \sum_{1}^{ \infty } \frac{n-1}{n!}}\)
Szukam jakiegos "sprytnego" rozwiazania, gdyz jest to nasze pierwsze zadanie z szeregow wiec sadze ze nie mozna uzywac skomplikowanego aparatu matematycznego
Szukam jakiegos "sprytnego" rozwiazania, gdyz jest to nasze pierwsze zadanie z szeregow wiec sadze ze nie mozna uzywac skomplikowanego aparatu matematycznego
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15688
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Obliczyc szereg
Stąd, że \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{2^{n}} = \frac{n}{2^{n}}}\)
Inny sposób: gdy \(\displaystyle{ \left| x\right| <1}\), to
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } nx^{n}=x \sum_{n=1}^{ \infty }nx^{n-1}=x \sum_{ n=1}^{ \infty }(x^{n})'=x \left(\sum_{ n=1}^{ \infty }x^{n}\right)'}\)
Przedstawiasz \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty }x^{n}}\) w zwartej postaci (jest to suma szeregu geometrycznego), różniczkujesz tę zwartą postać, mnożysz przez \(\displaystyle{ x}\) i podstawiasz \(\displaystyle{ x= \frac{1}{2}}\).
Tu trzeba wiedzieć, że szeregi potęgowe wewnątrz promienia zbieżności możemy różniczkować wyraz po wyrazie.
Inny sposób: gdy \(\displaystyle{ \left| x\right| <1}\), to
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } nx^{n}=x \sum_{n=1}^{ \infty }nx^{n-1}=x \sum_{ n=1}^{ \infty }(x^{n})'=x \left(\sum_{ n=1}^{ \infty }x^{n}\right)'}\)
Przedstawiasz \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty }x^{n}}\) w zwartej postaci (jest to suma szeregu geometrycznego), różniczkujesz tę zwartą postać, mnożysz przez \(\displaystyle{ x}\) i podstawiasz \(\displaystyle{ x= \frac{1}{2}}\).
Tu trzeba wiedzieć, że szeregi potęgowe wewnątrz promienia zbieżności możemy różniczkować wyraz po wyrazie.
- Zordon
- Użytkownik
- Posty: 4977
- Rejestracja: 12 lut 2008, o 21:42
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 75 razy
- Pomógł: 910 razy
Obliczyc szereg
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty \sum_{k=1}^n \frac{1}{2^n}=\sum_{k=1}^n\sum_{n=k}^\infty \frac{1}{2^n}}\)
I obliczasz ze wzorów na sumę ciągu geometrycznego.
I obliczasz ze wzorów na sumę ciągu geometrycznego.
Obliczyc szereg
Też mam problem z pierwszym przykładem i rozpisałem tak:
\(\displaystyle{ \sum_{n=2}^\infty \frac{n-1}{n!}= \sum_{n=2}^\infty \frac{1}{(n-1)!}-\sum_{n=2}^\infty\frac{1}{n!}}\)
Niestety nie wiem co dalej, czytałem gdzieś w internecie o jakimś wzorze z liczbą e ale nie wiem jak z niego skorzystać. Pomoże ktoś?
\(\displaystyle{ \sum_{n=2}^\infty \frac{n-1}{n!}= \sum_{n=2}^\infty \frac{1}{(n-1)!}-\sum_{n=2}^\infty\frac{1}{n!}}\)
Niestety nie wiem co dalej, czytałem gdzieś w internecie o jakimś wzorze z liczbą e ale nie wiem jak z niego skorzystać. Pomoże ktoś?