Matematyka.pl

Mam za zadanie obliczyć sumę i kompletnie nie wiem jak się za to zabrać. Czy mógłby ktoś pomóc?

\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n} {n \choose n-k} 2^{k/2}}\)

\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n} {n \choose n-k} 2^{k/2}=\sum_{k=0}^{n} {n \choose k}(\sqrt{2})^k=(1+\sqrt{2})^n}\)
ze wzoru dwumianowego Newtona.

Premislav, a jak to wyszło, bo szczerze mówiąc nie wiem.

\(\displaystyle{ {n \choose k}={n \choose n-k}}\) – to chyba umiesz pokazać, wystarczy rozpisać z definicji te symbole Newtona i poskracać.
Ponadto \(\displaystyle{ 2^{\frac k 2}=\left(2^{\frac 1 2} \right)^k}\) . Aha, jeszcze może prościej byłoby, gdybym napisał
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n} {n \choose k}(\sqrt{2})^k 1^{n-k}}\) – dalej wprost ze wzoru dwumianowego.

Ahhh, no tak. Dziękuję bardzo za pomoc