Matematyka.pl

Udowodnić, że \(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n!^2}}\) jest liczbą niewymierną.

Załóżmy, że:

\(\displaystyle{ \frac{m}{n} = \frac{1}{2! \cdot 2!} - \frac{1}{3! \cdot 3!} +...+(-1)^n \frac{1}{n! \cdot n!} +(-1)^{n+1} \frac{1}{(n+1)! \cdot (n+1)!}+.../ \cdot (n!)^2}\)

Lewa strona będzie liczbą całkowitą naturalną np.: \(\displaystyle{ C}\)

Prawa strona podzieli się na dwie części: \(\displaystyle{ A, B}\)

\(\displaystyle{ A=\frac{(n!)^2}{2! \cdot 2!} - \frac{(n!)^2}{3! \cdot 3!} +...+(-1)^n \frac{(n!)^2}{n! \cdot n!}}\)

Jak widać jest to liczba całkowita...

\(\displaystyle{ B=(-1)^{n+1} \frac{(n!)^2}{(n+1)! \cdot (n+1)!}+(-1)^{n+2} \frac{(n!)^2}{(n+2)! \cdot (n+2)!}...}\)

Teraz tak:

\(\displaystyle{ -\frac{1}{2^2} <- \frac{1}{(n+1)(n+1)} <(-1)^{n+1} \frac{(n!)^2}{(n+1)! \cdot (n+1)!} <\frac{1}{(n+1)(n+1)} < \frac{1}{2^2} }\)

\(\displaystyle{ -\frac{1}{2^4} <- \frac{1}{(n+1)^2(n+2)^2} <(-1)^{n+1} \frac{(n!)^2}{(n+1)! \cdot (n+1)!} <\frac{1}{(n+1)^2(n+2)^2} < \frac{1}{2^4} }\)

\(\displaystyle{ -\frac{1}{2^6} <- \frac{1}{(n+1)^2(n+2)^2(n+3)^2} <(-1)^{n+1} \frac{(n!)^2}{(n+1)! \cdot (n+1)!} <\frac{1}{(n+1)^2(n+2)^2(n+3)^2} < \frac{1}{2^6} }\)

.......................................................................................................................................................................................

\(\displaystyle{ - \frac{1}{2^2} - \frac{1}{2^4} - \frac{1}{2^6} -...<B <\frac{1}{2^2} + \frac{1}{2^4} + \frac{1}{2^6} +...}\)

więc:

\(\displaystyle{ -\frac{1}{3} < B < \frac{1}{3}}\)

Znaczy, że:

\(\displaystyle{ C=A+B}\)

\(\displaystyle{ C}\) - całkowite

\(\displaystyle{ A}\) - całkowite

\(\displaystyle{ B}\) - nie całkowite

Oczywiście:

\(\displaystyle{ B \neq 0}\)

sprzeczność...

Znaczy, że ta liczba:

\(\displaystyle{ J_{0}(2)= \sum_{n=0}^{ \infty } \frac{(-1)^n}{(n!)^2} }\) - liczba Bessela jest liczbą niewymierną...