Niewymierna suma
- mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11473
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3157 razy
- Pomógł: 748 razy
Niewymierna suma
Udowodnić, że \(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n!^2}}\) jest liczbą niewymierną.
- arek1357
- Użytkownik
- Posty: 5750
- Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: blisko
- Podziękował: 131 razy
- Pomógł: 526 razy
Re: Niewymierna suma
Załóżmy, że:
\(\displaystyle{ \frac{m}{n} = \frac{1}{2! \cdot 2!} - \frac{1}{3! \cdot 3!} +...+(-1)^n \frac{1}{n! \cdot n!} +(-1)^{n+1} \frac{1}{(n+1)! \cdot (n+1)!}+.../ \cdot (n!)^2}\)
Lewa strona będzie liczbą całkowitą naturalną np.: \(\displaystyle{ C}\)
Prawa strona podzieli się na dwie części: \(\displaystyle{ A, B}\)
\(\displaystyle{ A=\frac{(n!)^2}{2! \cdot 2!} - \frac{(n!)^2}{3! \cdot 3!} +...+(-1)^n \frac{(n!)^2}{n! \cdot n!}}\)
Jak widać jest to liczba całkowita...
\(\displaystyle{ B=(-1)^{n+1} \frac{(n!)^2}{(n+1)! \cdot (n+1)!}+(-1)^{n+2} \frac{(n!)^2}{(n+2)! \cdot (n+2)!}...}\)
Teraz tak:
\(\displaystyle{ -\frac{1}{2^2} <- \frac{1}{(n+1)(n+1)} <(-1)^{n+1} \frac{(n!)^2}{(n+1)! \cdot (n+1)!} <\frac{1}{(n+1)(n+1)} < \frac{1}{2^2} }\)
\(\displaystyle{ -\frac{1}{2^4} <- \frac{1}{(n+1)^2(n+2)^2} <(-1)^{n+1} \frac{(n!)^2}{(n+1)! \cdot (n+1)!} <\frac{1}{(n+1)^2(n+2)^2} < \frac{1}{2^4} }\)
\(\displaystyle{ -\frac{1}{2^6} <- \frac{1}{(n+1)^2(n+2)^2(n+3)^2} <(-1)^{n+1} \frac{(n!)^2}{(n+1)! \cdot (n+1)!} <\frac{1}{(n+1)^2(n+2)^2(n+3)^2} < \frac{1}{2^6} }\)
.......................................................................................................................................................................................
\(\displaystyle{ - \frac{1}{2^2} - \frac{1}{2^4} - \frac{1}{2^6} -...<B <\frac{1}{2^2} + \frac{1}{2^4} + \frac{1}{2^6} +...}\)
więc:
\(\displaystyle{ -\frac{1}{3} < B < \frac{1}{3}}\)
Znaczy, że:
\(\displaystyle{ C=A+B}\)
\(\displaystyle{ C}\) - całkowite
\(\displaystyle{ A}\) - całkowite
\(\displaystyle{ B}\) - nie całkowite
Oczywiście:
\(\displaystyle{ B \neq 0}\)
sprzeczność...
Znaczy, że ta liczba:
\(\displaystyle{ J_{0}(2)= \sum_{n=0}^{ \infty } \frac{(-1)^n}{(n!)^2} }\) - liczba Bessela jest liczbą niewymierną...
\(\displaystyle{ \frac{m}{n} = \frac{1}{2! \cdot 2!} - \frac{1}{3! \cdot 3!} +...+(-1)^n \frac{1}{n! \cdot n!} +(-1)^{n+1} \frac{1}{(n+1)! \cdot (n+1)!}+.../ \cdot (n!)^2}\)
Lewa strona będzie liczbą całkowitą naturalną np.: \(\displaystyle{ C}\)
Prawa strona podzieli się na dwie części: \(\displaystyle{ A, B}\)
\(\displaystyle{ A=\frac{(n!)^2}{2! \cdot 2!} - \frac{(n!)^2}{3! \cdot 3!} +...+(-1)^n \frac{(n!)^2}{n! \cdot n!}}\)
Jak widać jest to liczba całkowita...
\(\displaystyle{ B=(-1)^{n+1} \frac{(n!)^2}{(n+1)! \cdot (n+1)!}+(-1)^{n+2} \frac{(n!)^2}{(n+2)! \cdot (n+2)!}...}\)
Teraz tak:
\(\displaystyle{ -\frac{1}{2^2} <- \frac{1}{(n+1)(n+1)} <(-1)^{n+1} \frac{(n!)^2}{(n+1)! \cdot (n+1)!} <\frac{1}{(n+1)(n+1)} < \frac{1}{2^2} }\)
\(\displaystyle{ -\frac{1}{2^4} <- \frac{1}{(n+1)^2(n+2)^2} <(-1)^{n+1} \frac{(n!)^2}{(n+1)! \cdot (n+1)!} <\frac{1}{(n+1)^2(n+2)^2} < \frac{1}{2^4} }\)
\(\displaystyle{ -\frac{1}{2^6} <- \frac{1}{(n+1)^2(n+2)^2(n+3)^2} <(-1)^{n+1} \frac{(n!)^2}{(n+1)! \cdot (n+1)!} <\frac{1}{(n+1)^2(n+2)^2(n+3)^2} < \frac{1}{2^6} }\)
.......................................................................................................................................................................................
\(\displaystyle{ - \frac{1}{2^2} - \frac{1}{2^4} - \frac{1}{2^6} -...<B <\frac{1}{2^2} + \frac{1}{2^4} + \frac{1}{2^6} +...}\)
więc:
\(\displaystyle{ -\frac{1}{3} < B < \frac{1}{3}}\)
Znaczy, że:
\(\displaystyle{ C=A+B}\)
\(\displaystyle{ C}\) - całkowite
\(\displaystyle{ A}\) - całkowite
\(\displaystyle{ B}\) - nie całkowite
Oczywiście:
\(\displaystyle{ B \neq 0}\)
sprzeczność...
Znaczy, że ta liczba:
\(\displaystyle{ J_{0}(2)= \sum_{n=0}^{ \infty } \frac{(-1)^n}{(n!)^2} }\) - liczba Bessela jest liczbą niewymierną...