Matematyka.pl

Niech \(\displaystyle{ x }\) będzie liczbą rzeczywistą i ciag \(\displaystyle{ x_n}\) będzie określony \(\displaystyle{ x_1=1}\) i \(\displaystyle{ x_{n+1} = x^n+nx_n}\) dla \(\displaystyle{ n \geq 1}\). Udowodnić, że \(\displaystyle{ \prod_{n=1}^{\infty} (1- \frac{x^n}{x_{n+1}} )=e^{-x} }\).

Nie wdając się w dyskusje ten iloczyn po drobnych przekształceniach (na poziomie klasy IV) wyglądać powinien tak:

\(\displaystyle{ \frac{1}{x+1} \cdot \frac{2x+2}{x^2+2x+2} \cdot \frac{3x^2+6x+6}{x^3+3x^2+6x+6} \cdot ...}\)

Poza tym ładnie się skraca mianownik tego z lewej z licznikiem swego sąsiada z prawej...

łatwo zauważyć, że:

- licznik jest pochodną mianownika

- w mianowniku jest suma kolejnych pochodnych wyrazu: \(\displaystyle{ x^n}\)

W konsekwencji wszystko się skraca do:

\(\displaystyle{ \frac{n!}{x^n+(x^n)'+(x^n)''+(x^n)'''+...+n!} }\)

Jak podzielimy licznik i mianownik przez n! to otrzymamy:

\(\displaystyle{ \frac{1}{1+ \frac{1}{1!}x+ \frac{1}{2!}x^2+ \frac{1}{3!}x^3+...+ \frac{1}{n!}x^n } \rightarrow \frac{1}{e^x} =e^{-x} }\)

Co jak widać na załączonym obrazku, cnd...

Wersja dla tych co nie wiedzą (lub nie zdają sobie z tego sprawy) jak niebezpieczne są zabawy z nieskończonością...