Definicja szeregów liczbowych, kryteria zbieżności szeregów. Suma szeregu i iloczyn Cauchy'ego szeregów. Iloczyny nieskończone.
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Posty: 11266 Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 3143 razy
Pomógł: 747 razy
Post
autor: mol_ksiazkowy » 12 paź 2022, o 10:11
Czy szereg \(\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3+5}} + \frac{1}{\sqrt{7+11+13}} +...}\) jest zbieżny ?
Janusz Tracz
Użytkownik
Posty: 4060 Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 79 razy
Pomógł: 1391 razy
Post
autor: Janusz Tracz » 12 paź 2022, o 10:49
Ukryta treść:
Mamy:
On the asymptotic expansion of the sum of the first \(\displaystyle{ n}\) primes, Nilotpal Kanti Sinha,
, Theorem 2.3.
Zatem
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } 1\big/ \sqrt{ \sum_{r=1}^{n} p_r} }\) zachowuje się jak
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \sqrt{2} \big/ \sqrt{ n^2\ln n } }\) . A nawet ślepy koń widzi, że
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \sqrt{2} \big/ \sqrt{ n^2\ln n } }\) jest rozbieżny więc
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } 1\big/ \sqrt{ \sum_{r=1}^{n} p_r} }\) też.
Na koniec zauważamy, że
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } 1\big/ \sqrt{ \sum_{r=1}^{n} p_r} }\) ogranicza z dołu szereg z zadania.
\(\displaystyle{ }\)
Janusz Tracz
Użytkownik
Posty: 4060 Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 79 razy
Pomógł: 1391 razy
Post
autor: Janusz Tracz » 12 paź 2022, o 13:48
Popełniłem błąd. Myślałem, że szereg z zadania jest inny niż naprawdę jest... sorki.
Janusz Tracz
Użytkownik
Posty: 4060 Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 79 razy
Pomógł: 1391 razy
Post
autor: Janusz Tracz » 12 paź 2022, o 17:02
poprawka:
Wydaje mi się, że większość da się uratować i idea pozostaje taka sama. Z linkowanego wcześniej asymptotycznego oszacowania mamy, że
\(\displaystyle{ \sum_{r=(n^2-n+2)/2}^{(n^2+n)/2}p_r \approx \sum_{r=1}^{(n^2+n)/2}p_r - \sum_{r=1}^{(n^2-n+2)/2}p_r \approx \frac{(n^2+n)^2}{8}\ln \frac{n^2+n}{2} - \frac{(n^2-n+2)^2}{8}\ln \frac{n^2-n+2}{2} \approx n^3\ln n. }\)
Zatem
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } 1\big/ \sqrt{\sum_{r=(n^2-n+2)/2}^{(n^2+n)/2}p_r} \approx \sum_{n=1}^{ \infty } 1\big/ \sqrt{n^3\ln n}. }\)
Więc wystarczy stwierdzić, że
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } 1\big/ \sqrt{n^3\ln n}}\) jest zbieżny co jest już łatwe.