Matematyka.pl

\(\displaystyle{ \prod_{n=1}^{ \infty } \frac{p _{n} ^{2}+1 }{p _{n} ^{2}-1 } = \frac{5}{2} }\)
\(\displaystyle{ p _{n} \hbox{ - n-ta liczba pierwsza} }\)
\(\displaystyle{ \prod_{n=1}^{ \infty } \frac{p _{n} ^{4}+1 }{p _{n} ^{4}-1 } = \frac{7}{6} }\)

\(\displaystyle{ \prod_{n=2}^{ \infty } \frac{n ^{3}+1 }{n ^{3}-1 } = \frac{3}{2} }\)

Dodano po 27 dniach 3 godzinach 52 minutach 7 sekundach:
Przepraszam, to jest znane, bo jest w OEIS.

Może to nie jest znane:

\(\displaystyle{ \prod_{n=1}^{ \infty } 1-k ^{-p _{n} } = \frac{k ^{11}-k ^{9}-k ^{8}+k ^{3}+k ^{2}-1 }{k ^{11} } ,k \ge 1}\)

\(\displaystyle{ \prod_{n=1}^{ \infty } 1+k ^{-n} = \frac{k ^{5}-k+1}{k ^{5}-k ^{4}-k ^{2}+1 } ,k \ge 2}\)

\(\displaystyle{ \prod_{n=1}^{ \infty } 1+\left( -k\right) ^{-n} = \frac{k ^{5}-k-1}{k ^{5}+k ^{4}+k ^{2}-1 } ,k \ge 2}\)

np.: pierwsze:

\(\displaystyle{ \xi(s)=\prod_{p} \frac{1}{1-p^{-s}} }\)

wystarczy przeżąglować ten wzór i produkty wyjdą...

np a):

\(\displaystyle{ \prod_{p} \frac{p^2+1}{p^2-1} =\prod_{p} \frac{ \frac{p^4-1}{p^4} }{ \left( \frac{p^2-1}{p^2}\right)^2 }= \frac{1}{\xi(4)} \cdot \xi(2)^2 = \frac{90}{\pi^4} \cdot \frac{\pi^4}{36}= \frac{5}{2} }\)

Nie wiem jaki jest sens publikowania takich wzorów bez podania źródła, czyli bez możliwości sprawdzenia ich poprawności.

Pewne nieskończone iloczyny liczb pierwszych to po prostu wartości funkcji Riemanna np tak jak pisałem:

\(\displaystyle{ \prod_{p}^{} \frac{1}{1- \frac{1}{p^2} } =\left( 1+\frac{1}{\left( 2^2\right)^1 }+ \frac{1}{\left( 2^2\right) ^2}+ \frac{1}{\left( 2^2\right) ^3}+ ...\right) \left( 1+\frac{1}{\left( 3^2\right)^1 }+ \frac{1}{\left( 3^2\right) ^2}+ \frac{1}{\left( 3^2\right) ^3}+ ...\right) \left( 1+\frac{1}{\left( 5^2\right)^1 }+ \frac{1}{\left( 5^2\right) ^2}+ \frac{1}{\left( 5^2\right) ^3}+ ...\right) \cdot ...}\)

więc mamy po wymnożeniu wszelkie możliwe kombinacje iloczynowe liczb pierwszych co daje:

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{1}{n^2} =\xi(2)}\)

Te rzeczy można znaleźć w każdym podręczniku do analitycznej teorii liczb. Mnie bardziej interesują źródla wzorów podawanych przez Earlu52. No chyba że Ty pokażesz jak je wyżonglować.

NB we wzorach Earlu52 brak nawiasów

Już jeden wyżonglowałem teraz niech wyżongluje Eariu

np w trzecim iloczynie tym z 3/2 możesz teleskopowo jak się dobrze przyjrzeć...