Funkcja Smarandache 'a \(\displaystyle{ S(n)}\) (najmniejsze \(\displaystyle{ m}\) takie, że \(\displaystyle{ n }\) dzieli \(\displaystyle{ m!}\))
Udowodnić, że szereg \(\displaystyle{ \frac{1}{S(n)} + \frac{1}{S(n^2)} + \frac{1}{S(n^3)} +... }\)
jest rozbieżny (dla dowolnego \(\displaystyle{ n}\)).
Funkcja Smarandache 'a
-
mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11415
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3155 razy
- Pomógł: 748 razy
-
arek1357
- Użytkownik
- Posty: 5749
- Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: blisko
- Podziękował: 131 razy
- Pomógł: 526 razy
Re: Funkcja Smarandache 'a
\(\displaystyle{ n=p_{1}^{\alpha_{1}} \cdot ... \cdot p_{r}^{\alpha_{r}}}\)
\(\displaystyle{ n^i=p_{1}^{i \alpha_{1}} \cdot ... \cdot p_{r}^{i \alpha_{r}}}\)
\(\displaystyle{ S(n^i)=\max\left\{ S(p_{1}^{i \alpha_{1}}),...,S(p_{r}^{i \alpha_{r}}) \right\} = S(p^{i\alpha}) \le i\alpha p}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{S(n^i)} \ge \frac{1}{i\alpha p} }\)
\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{ \infty } \frac{1}{S(n^i)} \ge \frac{1}{\alpha p} \sum_{i=1}^{ \infty } \frac{1}{i} = \infty }\)
\(\displaystyle{ n^i=p_{1}^{i \alpha_{1}} \cdot ... \cdot p_{r}^{i \alpha_{r}}}\)
\(\displaystyle{ S(n^i)=\max\left\{ S(p_{1}^{i \alpha_{1}}),...,S(p_{r}^{i \alpha_{r}}) \right\} = S(p^{i\alpha}) \le i\alpha p}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{S(n^i)} \ge \frac{1}{i\alpha p} }\)
\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{ \infty } \frac{1}{S(n^i)} \ge \frac{1}{\alpha p} \sum_{i=1}^{ \infty } \frac{1}{i} = \infty }\)