Niech
\(\displaystyle{ \begin{cases} a_1=1 \\ a_{2n}=a_n \\ a_{2n+1}=a_n+a_{n+1} \end{cases}}\)
oraz \(\displaystyle{ F(x)= \sum_{n \geq 1} a_nx^{n-1} }\) (funkcja tworząca tego ciągu.)
Udowodnić, że \(\displaystyle{ F(x)= (1+x+x^2)F(x^2)}\)
Funkcja i ciąg
-
mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11373
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3153 razy
- Pomógł: 747 razy
-
a4karo
- Użytkownik
- Posty: 22207
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3754 razy
Re: Funkcja i ciąg
\(\displaystyle{ F(x)=\sum a_nx^{n-1}=1+\sum_{k\ge 1} (a_{2k}x^{2k-1}+a_{2k+1}x^{2k})\\
=\red{1}+\green{\sum_{k\ge 1} a_{k}x^{2k-1}}+ \blue{ \sum_{k\ge 1}a_{k}x^{2k}} +\red{ \sum_{k\ge 1}a_{k+1}x^{2k}}\\
=\green{x\sum_{k\ge 1} a_{k}(x^2)^{k-1}}+\blue{x^2\sum_{k\ge 1}a_{k}(x^2)^{k-1}}+\red{\sum_{k\ge 1}a_{k}(x^2)^{k-1}}=(1+x+x^2)F(x^2)}\)
=\red{1}+\green{\sum_{k\ge 1} a_{k}x^{2k-1}}+ \blue{ \sum_{k\ge 1}a_{k}x^{2k}} +\red{ \sum_{k\ge 1}a_{k+1}x^{2k}}\\
=\green{x\sum_{k\ge 1} a_{k}(x^2)^{k-1}}+\blue{x^2\sum_{k\ge 1}a_{k}(x^2)^{k-1}}+\red{\sum_{k\ge 1}a_{k}(x^2)^{k-1}}=(1+x+x^2)F(x^2)}\)