Badanie zbieżności szeregu
- RagaiH
- Użytkownik
- Posty: 15
- Rejestracja: 16 lis 2023, o 19:29
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 18
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 7 razy
Badanie zbieżności szeregu
Zbadać zbieżność szeregu
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{1}{n!}\left( \frac{n}{e}\right)^{n} }\)
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{1}{n!}\left( \frac{n}{e}\right)^{n} }\)
Ostatnio zmieniony 17 lis 2023, o 16:20 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
-
- Użytkownik
- Posty: 7918
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Re: Badanie zbieżności szeregu
Na podstawie twierdzenia o monotoniczności ciągów:
\(\displaystyle{ a_{n} = \left( 1 + \frac{1}{n}\right)^{n}, \ \ b_{n} = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^{n+1}, \ \ n\in \NN,}\)
oraz kryterium:
" Niech \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}, \ \ \sum_{n=1}^{\infty} b_{n} }\) będą szeregami o wyrazach dodatnich, takimi, że \(\displaystyle{ \frac{a_{n+1}}{a_{n}}\leq \frac{b_{n+1}}{b_{n}} }\) dla \(\displaystyle{ n \geq N, }\) to ze zbieżności szeregu \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} b_{n} }\) wynika zbieżność szeregu \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} a_{n},"}\)
możemy napisać:
\(\displaystyle{ \frac{a_{n+1}}{a_{n}} = \frac{\left(1 +\frac{1}{n}\right)^{n}}{e} > \frac{\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}}{\left(1 +\frac{1}{n}\right)^{n+1}} = \frac{\frac{1}{n+1}}{\frac{1}{n}}.}\)
Gdyby badany szereg był zbieżny, to na podstawie tego kryterium szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} }\) byłby zbieżny jako szereg harmoniczny rzędu pierwszego.
Badany szereg jest więc rozbieżny.
\(\displaystyle{ a_{n} = \left( 1 + \frac{1}{n}\right)^{n}, \ \ b_{n} = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^{n+1}, \ \ n\in \NN,}\)
oraz kryterium:
" Niech \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}, \ \ \sum_{n=1}^{\infty} b_{n} }\) będą szeregami o wyrazach dodatnich, takimi, że \(\displaystyle{ \frac{a_{n+1}}{a_{n}}\leq \frac{b_{n+1}}{b_{n}} }\) dla \(\displaystyle{ n \geq N, }\) to ze zbieżności szeregu \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} b_{n} }\) wynika zbieżność szeregu \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} a_{n},"}\)
możemy napisać:
\(\displaystyle{ \frac{a_{n+1}}{a_{n}} = \frac{\left(1 +\frac{1}{n}\right)^{n}}{e} > \frac{\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}}{\left(1 +\frac{1}{n}\right)^{n+1}} = \frac{\frac{1}{n+1}}{\frac{1}{n}}.}\)
Gdyby badany szereg był zbieżny, to na podstawie tego kryterium szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} }\) byłby zbieżny jako szereg harmoniczny rzędu pierwszego.
Badany szereg jest więc rozbieżny.
-
- Użytkownik
- Posty: 22211
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3755 razy
Re: Badanie zbieżności szeregu
A to cóż za bzdura. Przecież \(\displaystyle{ \frac{a_{n+1}}{a_n}=\blue{\frac{\left(1 +\frac{1}{n+1}\right)^{n+1}}{\left(1 +\frac{1}{n}\right)^{n}}}}\), ale to nijak ma się do zadania
Ostatnio zmieniony 18 lis 2023, o 08:39 przez admin, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Cytowanie całej treści pod postem
Powód: Cytowanie całej treści pod postem
- arek1357
- Użytkownik
- Posty: 5749
- Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: blisko
- Podziękował: 131 razy
- Pomógł: 526 razy
Re: Badanie zbieżności szeregu
Wystarczy skorzystać ze wzoru Wilsona... na silnię , ładnie się skraca
Kryterium daje granicę jeden więc nie ma sensu go stosować...
Logika nie kłamie z fałszu można uzyskać prawdę...Badany szereg jest więc rozbieżny.
Kryterium daje granicę jeden więc nie ma sensu go stosować...
- mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11415
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3155 razy
- Pomógł: 748 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 7918
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Re: Badanie zbieżności szeregu
Jeśli ciągi \(\displaystyle{ a_{n} = \left( 1+\frac{1}{n}\right)^{n}}\) i ciąg \(\displaystyle{ b_{n} = \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}, \ \ n\in \NN.}\)
to można wykazać, że ciąg \(\displaystyle{ (a_{n}) }\)jest ściśle rosnący oraz ciąg \(\displaystyle{ (b_{n}) }\) jest ściśle malejący oraz \(\displaystyle{ a_{n}< b_{n}
}\) dla \(\displaystyle{ n \in\NN }\) i ciągi \(\displaystyle{ (a_{n}), \ \ (b_{n}) }\) są zbieżne do tej samej granicy \(\displaystyle{ e.}\)
to można wykazać, że ciąg \(\displaystyle{ (a_{n}) }\)jest ściśle rosnący oraz ciąg \(\displaystyle{ (b_{n}) }\) jest ściśle malejący oraz \(\displaystyle{ a_{n}< b_{n}
}\) dla \(\displaystyle{ n \in\NN }\) i ciągi \(\displaystyle{ (a_{n}), \ \ (b_{n}) }\) są zbieżne do tej samej granicy \(\displaystyle{ e.}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 22211
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3755 razy
Re: Badanie zbieżności szeregu
Przecie to nie o to chodzi. Czytaj ze zrozumieniem to, co piszesz, to unikniesz takich błędów.
Najpierw oznaczyłeś przez `a_n` pewien znany ciąg, a potem, znienacka, tego `a_n` użyłeś do oznaczenia wyrazów szeregu w zadaniu. O tym, że jak przez A oznaczyłeś stanowisko ogniowe wroga, a potem tym samym symbolem oznaczysz własną kuchnię polową, to własna artyleria zrobi Ci niezły kipisz, uczą na początkowych zajęciach z taktyki.
Najpierw oznaczyłeś przez `a_n` pewien znany ciąg, a potem, znienacka, tego `a_n` użyłeś do oznaczenia wyrazów szeregu w zadaniu. O tym, że jak przez A oznaczyłeś stanowisko ogniowe wroga, a potem tym samym symbolem oznaczysz własną kuchnię polową, to własna artyleria zrobi Ci niezły kipisz, uczą na początkowych zajęciach z taktyki.
Ostatnio zmieniony 18 lis 2023, o 08:38 przez admin, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Cytowanie całej treści pod postem
Powód: Cytowanie całej treści pod postem
- arek1357
- Użytkownik
- Posty: 5749
- Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: blisko
- Podziękował: 131 razy
- Pomógł: 526 razy
Re: Badanie zbieżności szeregu
Oczywiście Stirlinga pomyłka:
\(\displaystyle{ n!= \sqrt{2\pi} \left( \frac{n}{e}\right)^n e^{\alpha_{n}} }\)
Z tego idzie natychmiast...
A tak na marginesie czy autor posta to nie sztuczna "inteligencja"???
Dodano po 5 minutach 56 sekundach:
Prawdopodobnie jakby tam było zamiast:
\(\displaystyle{ \frac{n}{e} }\)
było:
\(\displaystyle{ \frac{n}{5} }\)
To z kryterium ilorazowego, które Janusz tak męczy by się dało a jakby się dało to wnioski można wysnuwać (nie sprawdzałem tego czy by się dało ale zawsze można sprawdzić...
\(\displaystyle{ n!= \sqrt{2\pi} \left( \frac{n}{e}\right)^n e^{\alpha_{n}} }\)
Z tego idzie natychmiast...
A tak na marginesie czy autor posta to nie sztuczna "inteligencja"???
Dodano po 5 minutach 56 sekundach:
Prawdopodobnie jakby tam było zamiast:
\(\displaystyle{ \frac{n}{e} }\)
było:
\(\displaystyle{ \frac{n}{5} }\)
To z kryterium ilorazowego, które Janusz tak męczy by się dało a jakby się dało to wnioski można wysnuwać (nie sprawdzałem tego czy by się dało ale zawsze można sprawdzić...
- RagaiH
- Użytkownik
- Posty: 15
- Rejestracja: 16 lis 2023, o 19:29
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 18
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 7 razy
- arek1357
- Użytkownik
- Posty: 5749
- Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: blisko
- Podziękował: 131 razy
- Pomógł: 526 razy
Re: Badanie zbieżności szeregu
Tak i nawet się nie dziw ponieważ pewne cechy i zachowanie masz podobne do sztucznej inteligencji więc określ się czy jesteś maszyną czy nie
- RagaiH
- Użytkownik
- Posty: 15
- Rejestracja: 16 lis 2023, o 19:29
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 18
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 7 razy
Re: Badanie zbieżności szeregu
Mam nadzieję, że maszyną nie jestem... Chociaż nikt nie zna prawdziwej i jedynej zagadki i odpowiedzi Matki Ziemi. Lecz dla twojego spokoju, określam się: maszyną na chwilę obecną, tak jak czuję, nie jestem...
- arek1357
- Użytkownik
- Posty: 5749
- Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: blisko
- Podziękował: 131 razy
- Pomógł: 526 razy
Re: Badanie zbieżności szeregu
Jakaż to zagadka?Chociaż nikt nie zna prawdziwej i jedynej zagadki i odpowiedzi Matki Ziemi.
Wiesz im bardziej zapewniasz, że maszyną nie jesteś tym bardziej twierdzę, że nią jesteś, albo jesteś bardzo specyficzny...
Nawet jak nie jesteś maszyną to się do niej upodabniasz i to bardzo...
- RagaiH
- Użytkownik
- Posty: 15
- Rejestracja: 16 lis 2023, o 19:29
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 18
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 7 razy
Re: Badanie zbieżności szeregu
Pozostaje tylko zaufać... a specyficzny nie zawsze musi mieć wydźwięk negatywny drogi Arku, ponieważ jestem bardzo sympatycznym facetem Jeżeli o zagadkę chodzi, to skąd którekolwiek z nas ma wiedzieć, czy jesteśmy ludźmi faktycznymi z mięsa, krwi i kości, czy może to tylko złudzenie i steruje nami jakaś nadludzka siła, maszyny z nas? To możesz być ty, Arek. Może to ty jesteś sztuczną inteligencją.
- arek1357
- Użytkownik
- Posty: 5749
- Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: blisko
- Podziękował: 131 razy
- Pomógł: 526 razy
Re: Badanie zbieżności szeregu
Akurat to wiem bardzo dobrze, że jestem człowiekiem stworzonym przez Boga..., traktuje to w kategorii aksjomatu...Jeżeli o zagadkę chodzi, to skąd którekolwiek z nas ma wiedzieć, czy jesteśmy ludźmi
Co trudno mi powiedzieć o większości użytkowników tego forum więc może dlatego wziąłem Cię za sztuczna inteligencję ponieważ odbiegasz od chamstwa prezentowanego na tym forum przez większość userów i adminów...Więc wydałeś mi się bardzo nierealny i niepasujący do otoczenia...jestem bardzo sympatycznym facetem
Ostatnio zmieniony 18 lis 2023, o 13:25 przez arek1357, łącznie zmieniany 1 raz.
- RagaiH
- Użytkownik
- Posty: 15
- Rejestracja: 16 lis 2023, o 19:29
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 18
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 7 razy
Re: Badanie zbieżności szeregu
Wiara chrześcijańska nie skutkuje rezygnacją z dociekań o prawdzie. Jednak, idąc twoim tokiem myślenia, Arku, ja również jestem człowiekiem stworzonym przez Boga, Stwórcę. Czuję, że żyję, posiadam i eksploruję własne emocje. W twojej filozofii, jestem istotą żyjącą.