Matematyka.pl

Zbadać zbieżność szeregu

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{1}{n!}\left( \frac{n}{e}\right)^{n} }\)

Na podstawie twierdzenia o monotoniczności ciągów:

\(\displaystyle{ a_{n} = \left( 1 + \frac{1}{n}\right)^{n}, \ \ b_{n} = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^{n+1}, \ \ n\in \NN,}\)

oraz kryterium:

" Niech \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}, \ \ \sum_{n=1}^{\infty} b_{n} }\) będą szeregami o wyrazach dodatnich, takimi, że \(\displaystyle{ \frac{a_{n+1}}{a_{n}}\leq \frac{b_{n+1}}{b_{n}} }\) dla \(\displaystyle{ n \geq N, }\) to ze zbieżności szeregu \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} b_{n} }\) wynika zbieżność szeregu \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} a_{n},"}\)

możemy napisać:

\(\displaystyle{ \frac{a_{n+1}}{a_{n}} = \frac{\left(1 +\frac{1}{n}\right)^{n}}{e} > \frac{\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}}{\left(1 +\frac{1}{n}\right)^{n+1}} = \frac{\frac{1}{n+1}}{\frac{1}{n}}.}\)

Gdyby badany szereg był zbieżny, to na podstawie tego kryterium szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} }\) byłby zbieżny jako szereg harmoniczny rzędu pierwszego.

Badany szereg jest więc rozbieżny.

janusz47 pisze: ↑17 lis 2023, o 17:10 Na podstawie twierdzenia o monotoniczności ciągów:
\(\displaystyle{ \blue{ a_{n} = \left( 1 + \frac{1}{n}\right)^{n}}, \ \ b_{n} = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^{n+1}, \ \ n\in \NN,}\)

A to cóż za bzdura. Przecież \(\displaystyle{ \frac{a_{n+1}}{a_n}=\blue{\frac{\left(1 +\frac{1}{n+1}\right)^{n+1}}{\left(1 +\frac{1}{n}\right)^{n}}}}\), ale to nijak ma się do zadania

Wilsona czy Stirlinga

Jeśli ciągi \(\displaystyle{ a_{n} = \left( 1+\frac{1}{n}\right)^{n}}\) i ciąg \(\displaystyle{ b_{n} = \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}, \ \ n\in \NN.}\)

to można wykazać, że ciąg \(\displaystyle{ (a_{n}) }\)jest ściśle rosnący oraz ciąg \(\displaystyle{ (b_{n}) }\) jest ściśle malejący oraz \(\displaystyle{ a_{n}< b_{n}

}\) dla \(\displaystyle{ n \in\NN }\) i ciągi \(\displaystyle{ (a_{n}), \ \ (b_{n}) }\) są zbieżne do tej samej granicy \(\displaystyle{ e.}\)

Przecie to nie o to chodzi. Czytaj ze zrozumieniem to, co piszesz, to unikniesz takich błędów.
Najpierw oznaczyłeś przez `a_n` pewien znany ciąg, a potem, znienacka, tego `a_n` użyłeś do oznaczenia wyrazów szeregu w zadaniu. O tym, że jak przez A oznaczyłeś stanowisko ogniowe wroga, a potem tym samym symbolem oznaczysz własną kuchnię polową, to własna artyleria zrobi Ci niezły kipisz, uczą na początkowych zajęciach z taktyki.

arek1357 pisze: ↑17 lis 2023, o 23:16 A tak na marginesie czy autor posta to nie sztuczna "inteligencja"???

Czy to do mnie??? Dlaczego tak sądzisz? arek1357? hmm??

Mam nadzieję, że maszyną nie jestem... Chociaż nikt nie zna prawdziwej i jedynej zagadki i odpowiedzi Matki Ziemi. Lecz dla twojego spokoju, określam się: maszyną na chwilę obecną, tak jak czuję, nie jestem...

Pozostaje tylko zaufać... a specyficzny nie zawsze musi mieć wydźwięk negatywny drogi Arku, ponieważ jestem bardzo sympatycznym facetem Jeżeli o zagadkę chodzi, to skąd którekolwiek z nas ma wiedzieć, czy jesteśmy ludźmi faktycznymi z mięsa, krwi i kości, czy może to tylko złudzenie i steruje nami jakaś nadludzka siła, maszyny z nas? To możesz być ty, Arek. Może to ty jesteś sztuczną inteligencją.

Wiara chrześcijańska nie skutkuje rezygnacją z dociekań o prawdzie. Jednak, idąc twoim tokiem myślenia, Arku, ja również jestem człowiekiem stworzonym przez Boga, Stwórcę. Czuję, że żyję, posiadam i eksploruję własne emocje. W twojej filozofii, jestem istotą żyjącą.