Matematyka.pl

Witam.

Przekrój osiowy stożka jest trójkątem równobocznym, przekrój walca wpisanego w stożek jest kwadratem o polu \(\displaystyle{ 36 cm^2}\). Oblicz stosunek objętości walca do objętości stożka.

Przekrój walca jest kwadratem o polu 36, zatem bok tego kwadratu i jednocześnie średnica walca jest równy \(\displaystyle{ \sqrt{36} = 6 cm}\).
Wysokość walca wynosi 6, więc jego objętość równa się:
\(\displaystyle{ V_w = \pi ( \frac{6}{2} )^2 6 = 54 \pi}\).

Teraz dla ułatwienia posłużę się zrobionym "na oko" rysunkiem:

Z tego widać, że \(\displaystyle{ x = \frac{6}{ \sqrt{3}} = 2 \sqrt{3}}\)
Czyli bok trójkąta \(\displaystyle{ a = 2x+6 = 6+4 \sqrt{3}}\)
Pole podstawy stożka \(\displaystyle{ P_ps = \pi ( \frac{6+4 \sqrt{3}}{2} )^2 = 21 \pi + 6 \sqrt{3} \pi}\)
Wysokość trójkąta (i jednocześnie stożka) \(\displaystyle{ h = \frac{ (6+4 \sqrt{3} ) \sqrt{3}}{2} = 3 \sqrt {3} + 6}\)
Objętość stożka \(\displaystyle{ V_s = \frac{1}{3} \pi (3 \sqrt {3} + 6)(21+6 \sqrt{3} )}\)
Szukany stosunek wynosi \(\displaystyle{ \frac{54 \pi}{ \frac{1}{3} \pi (3 \sqrt {3} + 6)(21+6 \sqrt{3} ) }}\)

Gdy wychodzą mi takie "dziwne" liczby, gdzie dużo trzeba wymnażać i mało co się skraca, to podejrzewam błąd.... gdzieś chyba musiałem się pomylić, lecz nie wiem gdzie....

Z góry dziękuję za pomoc.

W obliczeniach pola podstawy stożka jest błąd. Zamiast 6 powinna być 12

Hm.... nie widzę tego...
Przecież \(\displaystyle{ \pi ( \frac{6+4 \sqrt{3}}{2} )^2 = \pi ( 3+2 \sqrt{3} )^2 = \pi (21+6 \sqrt{3})}\)

:O
Faktycznie, jak mogłem tego nie zauważyć....
Czy oprócz tego nie ma żadnego błędu? Tzn. ma wyjść taki "skomplikowany" wynik?

Chyba tak , tylko tam musisz tez poprawić te obliczenia w których używałeś tego błędnego rozwiązania