Matematyka.pl

Proszę o pomoc w tym zadaniu.
W kuli o promieniu R znajduje się 6 jednakowych kul, z których każda jest styczna do dwóch sąsiednich, a wszystkie są styczne do danej kuli w punktach jej koła wielkiego. Oblicz promień kuli stycznej zewnętrznie do tych sześciu kul i wewnętrznie do danej kuli.

Doszedłem już do tego, że jeśli
\(\displaystyle{ R}\)- promień dużej kuli
\(\displaystyle{ r}\)- promień jednej z sześciu kul

To wtedy
\(\displaystyle{ R=3r}\)
"Przeciąłem" kulę wzdłuż koła wielkiego, połączone środki małych kul dały sześciokąt, z jego własności otrzymałem powyższą równość.
No, ale co dalej?
Można narysować tą sytuację "z boku", czyli największa kula (jako okrąg), na średnicy leżą mniejsze kulki, pomiędzy nimi, nieco z góry, ta "średnia". Ale żeby zastosować twierdzenie Pitagorasa, trzeba by wyliczyć jeszcze jedną niewiadomą... Odległość kuli od koła wielkiego największej kuli.
Jakieś pomysły?

Krawat pisze: To wtedy
\(\displaystyle{ R=3r}\)
"Przeciąłem" kulę wzdłuż koła wielkiego, połączone środki małych kul dały sześciokąt, z jego własności otrzymałem powyższą równość.

Dobrze. Teraz zainteresowałabym się kołem wyznaczonym przez punkty styczności sześciu kul z tą siódmą. To koło przecina siódmą kulę na dwa różne odcinki kuli.

kropka+ pisze: Dobrze. Teraz zainteresowałabym się kołem wyznaczonym przez punkty styczności sześciu kul z tą siódmą. To koło przecina siódmą kulę na dwa różne odcinki kuli.

Rozwiązałem. Narysowałem przekrój, ale tym razem poprzecznie- widać dużą kulę, dwie małe, i tę średnią.
Można tam jednak zastosować twierdzenie Pitagorasa (trzeba tylko zauważyć dobrze gdzie są znane nam promienie), i wychodzi że promień tej stycznej kuli to połowa promienia tej największej