Rozwinięcie powierzchni bocznej stożka jest wycinkiem kołowym o kącie środkowym \(\displaystyle{ \alpha}\) . Kąt ten oparty jest na cięciwie o długości a. oblicz objętość tego stożka.
Wiem, że odp brzmi: \(\displaystyle{ \frac{ a^{3} \alpha ^{2} \sqrt{4 \pi^{2}- \alpha ^{2} } }{192 \pi^{2} sin^{3} \frac{\alpha}{2} }}\) (przyjmujemy, że \(\displaystyle{ \alpha}\) jest miarą kąta wyrażoną w radianach), ale potrzebowałabym całe rozwiązanie na wtorek. Dziękuję z góry za rozwiązanie:)
Rozwinięcie powierzchni bocznej stożka jest wycinkiem...
- Justka
- Użytkownik
- Posty: 1680
- Rejestracja: 25 sty 2007, o 12:58
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Poznań
- Podziękował: 9 razy
- Pomógł: 579 razy
Rozwinięcie powierzchni bocznej stożka jest wycinkiem...
Rys.
Wnioski z rysunku
\(\displaystyle{ \begin{cases} sin\frac{\alpha}{2}=\frac{\frac{a}{2}}{l} \\ 2\pi R=\frac{\alpha}{2\pi}\cdot 2\pi l \end{cases} \ \Rightarrow \ \begin{cases} l=\frac{a}{2sin\frac{\alpha}{2}} \\ R=\frac{\alpha\cdot l}{2\pi}\end{cases}}\)
stąd \(\displaystyle{ R=\frac{\alpha\cdot a}{4\pi sin\frac{\alpha}{2}}}\)
Jeszcze policzmy wysokość \(\displaystyle{ H}\):
\(\displaystyle{ H=\sqrt{l^2-R^2} \Leftrightarrow H=\sqrt{(\frac{a}{2sin\frac{\alpha}{2}})^2-(\frac{\alpha\cdot a}{4\pi sin\frac{\alpha}{2}})^2} \ \Rightarrow \ H=\frac{a\sqrt{4\pi-\alpha^2}}{4\pi sin\frac{\alpha}{2}}}\)
Ostatecznie objętość jest równa:
\(\displaystyle{ V=\frac{1}{3}\pi R^2 H \\
V=\frac{1}{3}\pi \cdot (\frac{\alpha\cdot a}{4\pi sin\frac{\alpha}{2}})^2 \cdot \frac{a\sqrt{4\pi-\alpha^2}}{4\pi sin\frac{\alpha}{2}} \ \Rightarrow V=\frac{a^3\alpha^2 \sqrt{4\pi-\alpha^2}}{192\pi^2 sin^3 \frac{\alpha}{2}}}\)
Dodatkowo przyjmijmy, że R to promień podstawy stożka, H wysokość, a l tworząca. Wnioski z rysunku
\(\displaystyle{ \begin{cases} sin\frac{\alpha}{2}=\frac{\frac{a}{2}}{l} \\ 2\pi R=\frac{\alpha}{2\pi}\cdot 2\pi l \end{cases} \ \Rightarrow \ \begin{cases} l=\frac{a}{2sin\frac{\alpha}{2}} \\ R=\frac{\alpha\cdot l}{2\pi}\end{cases}}\)
stąd \(\displaystyle{ R=\frac{\alpha\cdot a}{4\pi sin\frac{\alpha}{2}}}\)
Jeszcze policzmy wysokość \(\displaystyle{ H}\):
\(\displaystyle{ H=\sqrt{l^2-R^2} \Leftrightarrow H=\sqrt{(\frac{a}{2sin\frac{\alpha}{2}})^2-(\frac{\alpha\cdot a}{4\pi sin\frac{\alpha}{2}})^2} \ \Rightarrow \ H=\frac{a\sqrt{4\pi-\alpha^2}}{4\pi sin\frac{\alpha}{2}}}\)
Ostatecznie objętość jest równa:
\(\displaystyle{ V=\frac{1}{3}\pi R^2 H \\
V=\frac{1}{3}\pi \cdot (\frac{\alpha\cdot a}{4\pi sin\frac{\alpha}{2}})^2 \cdot \frac{a\sqrt{4\pi-\alpha^2}}{4\pi sin\frac{\alpha}{2}} \ \Rightarrow V=\frac{a^3\alpha^2 \sqrt{4\pi-\alpha^2}}{192\pi^2 sin^3 \frac{\alpha}{2}}}\)