Matematyka.pl

Ostrosłup prawidłowy trójkątny o krawędzi podstawy długości a i wysokości H przecięto płaszczyzną prostopadłą do podstawy i przechodzącą przez środki dwóch krawędzi podstawy. Oblicz pole przekroju.

No właśnie doszedłem do tego zadania w Aksjomacie i nie mam zielonego pojęcia jak obliczyć pole tego trójkąta (przekroju). Proszę o pomoc

Przyjmijmy, że jest to ostrosłup o podstawie ABC i wierzchołku S, niech S' będzie spodkiem wysokości ostrosłupa, a trójkąt KLM szukaną płaszczyzną (K,L to środki krawędzi podstawy).

\(\displaystyle{ |KL|}\) to odcinek łączący środki boków trójkąta ABC, więc \(\displaystyle{ |KL|=\frac{1}{2} a}\). Niech M' to rzut prostokątny punktu M na płaszczyznę podstawy, zauważmy, że \(\displaystyle{ \Delta AMM' \sim \Delta ASS'}\), zatem zachodzi równość \(\displaystyle{ \frac{AM'}{M'M}=\frac{AS'}{S'S}}\), gdzie \(\displaystyle{ |AS'|=\frac{a\sqrt{3}}{3}}\) oraz \(\displaystyle{ |AM'|=\frac{a\sqrt{3}}{4}}\), zatem

\(\displaystyle{ \frac{\frac{a\sqrt{3}}{4}}{|MM'|}=\frac{\frac{a\sqrt{3}}{3}}{H} \ \Rightarrow \ \ |MM'|= ...}\)

Pole przekroju \(\displaystyle{ P=\frac{1}{2}|KL| \cdot |MM'|}\).

Wielkie dzięki, wszystko pięknie wyszło;) Nawet próbowałem z podobieństwa ale nie tego co trzeba (słabo umiem temat "podobieństwo" niestety).

A skąd wiadomo, że \(\displaystyle{ |AM'|=\frac{a\sqrt{3}}{4}}\) ?

sirostr pisze:A skąd wiadomo, że \(\displaystyle{ |AM'|=\frac{a\sqrt{3}}{4}}\) ?

jest to wysokość trójkąta równobocznego KLB o boku a/2