Matematyka.pl

Podstawa ostrosłupa jest rombem o przekątnych długości \(\displaystyle{ 8}\) cm i \(\displaystyle{ 6}\) cm. Wszystkie ściany boczne ostrosłupa są nachylone do płaszczyzny podstawy pod tym samym kątem. Wiedząc, że wysokość ostrosłupa jest równa \(\displaystyle{ 9}\) cm, oblicz:
a) długości boków ściany bocznej ostrosłupa,
b) pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa.

Jak to zrobić? Może mi ktoś pomóc?

wyciągnij z niego trójkąty prostokątne złożone z krawędzi bocznej, wysokości bryły i połówki przekątnej (jednej i drugiej) i pitagoras

No ok, ten podpunkt a) jakoś zrobiłem, wyszło mi, że boki ściany bocznej to: \(\displaystyle{ 5, \sqrt{90}, \sqrt{97} }\). Policzyłem też wysokość trójkąta, który jest jedną czwartą podstawy, że tak powiem i wyszło mi, że to \(\displaystyle{ h= \frac{12}{5} }\). I teraz mamy trójkąt prostokątny, w którym jedna przyprostokątna to \(\displaystyle{ 9}\), a druga \(\displaystyle{ \frac{12}{5} }\) i liczymy przeciwprostokątna, która wychodzi \(\displaystyle{ x= \frac{3}{5} \sqrt{241} }\), ale nie bardzo wiem, skąd wiadomo, że ta przeciwprostokątna \(\displaystyle{ x}\) jest jednocześnie wysokocią ściany bocznej ostrosłupa. Skąd wiadomo, że kąt między tym odcinkiem \(\displaystyle{ x}\), a podstawą jest prosty?

W podstawę da się wpisać okrąg, którego środek jest spodkiem wysokości ostrosłupa. Jego punkty styczności (tego okręgu) z bokami rombu są jednocześnie punktami wspólnymi wysokości ścian bocznych z podstawą (wysokości poprowadzonych z wierzchołka ostrosłupa).

No ok, pewnie jest tak jak mówisz, ale z czego to wynika? Jest jakaś definicja, która o tym mówi? Czy zakłada się po prostu, że to jest oczywiste i koniec?

Rzutujesz ostrosłup prostopadle na podstawę. Zauważasz, że jego wysokość to punkt przecięcia przekątnych (bo spodek wysokości ostrosłupa tam był - patrz jednakowe kąty ścian bocznych z podstawą), natomiast wysokość jednej ściany bocznej (jej rzut na podstawę ostrosłupa) to promień okręgu wpisanego w romb, poprowadzony do punktu styczności z bokiem rombu.

max123321 pisze: ↑24 sty 2024, o 16:53 Skąd wiadomo, że kąt między tym odcinkiem \(\displaystyle{ x}\), a podstawą jest prosty?

nie jest prosty, kąt między odcinkiem x a krawędzią podstawy jest prosty bo jego rzut na płaszczyznę podstawy pokrywa się z tym promieniem okręgu w podstawie który już obliczyłeś