Matematyka.pl

Udowodnić, że jeśli figura przestrzenna ma płaszczyznę symetrii i tylko jedną oś symetrii nie należącą do tej płaszczyzny, to jest ona do niej prostopadła.

Załóżmy, że mamy bryłę \(\displaystyle{ A}\), jej jedyną płaszczyznę symetrii \(\displaystyle{ p}\) i jej jedyną oś symetrii nie leżącą na \(\displaystyle{ p}\) i nie będącą prostopadłą do \(\displaystyle{ p}\) nazwijmy ją \(\displaystyle{ l}\). Wówczas figura \(\displaystyle{ A'}\) symetryczna względem \(\displaystyle{ p}\) musi mieć jedną oś symetrii symetryczną do \(\displaystyle{ l}\) względem \(\displaystyle{ p}\). Ale ponieważ \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ A'}\) się pokrywają to prowadzi do sprzeczności, bo to oznacza, że \(\displaystyle{ l}\) nie pokrywa się z \(\displaystyle{ l'}\) czyli są to dwie różne linie, a obie są osiami symetrii figury \(\displaystyle{ A}\) co prowadzi do sprzeczności.