Matematyka.pl

Witam, potrzebuję pomocy w takim zadaniu:
Wykaż, że jeśli trójkąt \(\displaystyle{ ABC}\) obraca się wokół boku \(\displaystyle{ BC}\) o długości \(\displaystyle{ a}\), to objętość bryły otrzymanej w ten sposób jest równa \(\displaystyle{ \frac{4}{3} \pi \frac{ S^{2} }{a} }\), gdzie \(\displaystyle{ S}\) jest polem trójkąta \(\displaystyle{ ABC}\).

Rysunek

Suma objętości dwóch stożków o wspólnej podstawie o promieniu długości \(\displaystyle{ h }\)

\(\displaystyle{ V (a, h) = V_{1}(a,h)+V_{2}(a,h) = \frac{1}{3}\pi \cdot h^2\cdot x + \frac{1}{3}\pi \cdot h^2\cdot (a - x) = \ \ ... \ \ (1)}\)

\(\displaystyle{ S = \frac{1}{2}a\cdot h \rightarrow h = \frac{2S}{a} \ \ (2)}\)

Podstawienie \(\displaystyle{ (2) }\) do \(\displaystyle{ (1).}\)

\(\displaystyle{ S(a) = \ \ ... }\)

Wypadałoby rozpatrzeć kilka przypadków...
-) w jednym z nich (kąty \(\beta,\gamma\) są ostre) powstała figura jest mnogościową sumą dwóch stożków o wspólnej podstawie - kole o promieniu równym wysokości danego trójkąta opuszczonej na \(\overline{BC}\) i sumie wysokości równej \(a\).
-) w pozostałych jest to jeden stożek albo "stożek bez stożka"

Pozdrawiam