Matematyka.pl

Witam.
Jak obliczyć objętość czworościanu, który zbudowany jest z trójkątów równoramiennych? Pytam, bo nie mam pewności, czy można zastosować wzór Pp\(\displaystyle{ \cdot}\)H? (Za dużo czasu minęło od zakończenia nauki ).
A... no ale jak jeszcze w prosty sposób obliczyć wysokość tego czworościanu mając dane a i b?
przepraszam za banały i pozdrawiam.

Obliczasz normalnie ale nie zapomnij o ,,jednej trzeciej".

Dane są liczbowe czy literowe (ogólne) ?

Na literkach trochę więcej roboty :
- kroisz ostrosłup przez jego wierzchołek i wysokość podstawy poprowadzoną do boku który jest jedyny (co do długości) z krawędzi podstawy.
- przekrój jest trójkątem równoramiennym (znamy jego wszystkie boki)
- szukamy wysokości tego trójkąta poprowadzonej do ramienia (to wysokość ostrosłupa).

Oczywiście 1/3 - mój błąd i przeoczenie. Podstawię sobie tam liczby, ale na razie przedstawia się to jako a i b. Jak wyprowadzić wzór na H mając podane tylko a i b?

Tak jak pisałem :
- wyznaczasz boki przekroju (z Pitagorasa)
- potem (też Pitagoras) jego wysokość prostopadłą do podstawy (tego przekroju nie ostrosłupa)
- następnie pole przekroju
- z pola drugą wysokość, tę która jest też wysokością ostrosłupa.

No dobra. Próba (ciekawe jak mi pójdzie - od chyba 10 lat takich obliczeń nie robiłem ).

Dla ułatwienia posłużę się oznaczeniami tak jak one są umieszczone na tym szkicu jaki wstawiłem.
Najpierw wysokość podstawy - za podstawę trójkąta będącego podstawą czworościanu wybieram bok a, gdzie b to boki równoramienne. Ta wysokość wyszła mi \(\displaystyle{ h = \sqrt{ b^{2}- \frac{ a^{2} }{4} }}\)
W ten sposób mam już wszystkie boki przekroju czworościanu przez wierzchołek czyli:
- podstawa trójkąta będącego przekrojem to wysokość trójkąta będącego podstawą czworościanu, czyli h,
- krawędź czworościanu od podstawy do wierzchołka czyli na szkicu jest to a,
- oraz bok, który jest wysokością trójkąta - ściany będącej „naprzeciwko” krawędzi a z punktu poprzedniego (to ta ściana najdalsza na tym moim szkicu), która jest równa wysokości trójkąta będącego podstawą czworościanu czyli h.
W ten sposób wyszło mi, że przekrój czworościanu to trójkąt równoramienny o boku a oraz o 2 bokach h.

Teraz trzeba obliczyć wysokość trójkąta będącego przekrojem czworościanu umownie nazwę ją w, czyli:
\(\displaystyle{ w = \sqrt{ h^{2}- \frac{ a^{2} }{4} }}\) czyli po podstawieniu wychodzi mi: \(\displaystyle{ w = \sqrt{(b^{2}- \frac{ a^{2} }{4})- \frac{ a^{2} }{4} }}\) no i dalej dało mi to: \(\displaystyle{ w = \sqrt{b^{2}- \frac{ a^{2} }{2}}}\).

Tak jak poradziłeś teraz można wyliczyć Pp trójkąta będącego przekrojem czworościanu:

\(\displaystyle{ Pp= \frac{1}{2}aw}\) czyli: \(\displaystyle{ Pp= \frac{1}{2}a \sqrt{b^{2}- \frac{ a^{2} }{2}}}\)

Posiadając Pp mogę wyliczyć wysokość tego trójkąta będącą już wysokością H czworościanu. Skoro:

\(\displaystyle{ Pp= \frac{1}{2}aH}\) to: \(\displaystyle{ H= 2 \frac{Pp}{a}}\) przy czym tutaj a jest wysokością trójkąta będącego podstawą czworościanu czyli h. Stąd \(\displaystyle{ H=2 \frac{\frac{1}{2}a \sqrt{b^{2}- \frac{ a^{2} }{2}}}{h}}\).

CZYLI:

\(\displaystyle{ H=2 \frac{\frac{1}{2}a \sqrt{b^{2}- \frac{ a^{2} }{2}}}{\sqrt{ b^{2}- \frac{ a^{2} }{4} }}}\)

Uf... Dobrze to poprzekształcałem???
Hm... tylko po co mi to H było potrzebne???

Bartess pisze:...
Hm... tylko po co mi to H było potrzebne???

Przecież masz obliczyć objętość; w pierwszym poście napisałeś,,Pp*H".

Zaraz sprawdzę Twoje obliczenia - coś mi się tam nie spodobało (ale tylko loooknąłem).

[edit]Masz OK (skróć to 2*0,5; można też pobawić się tymi pierwiastkami - w zasadzie nieistotne).
Więc pozostało wyznaczyć objętość.

No tak. \(\displaystyle{ V= \frac{1}{3}Pp \cdot H}\) gdzie \(\displaystyle{ Pp= \frac{1}{2} a \cdot h}\)
h to wcześniej policzone \(\displaystyle{ h = \sqrt{ b^{2}- \frac{ a^{2} }{4} }}\) dlatego Pp wychodzi:

\(\displaystyle{ Pp= \frac{1}{2} a \cdot \sqrt{ b^{2}- \frac{ a^{2} }{4} }}\)

Wyliczone H wyszło:

\(\displaystyle{ H=a\frac{\sqrt{b^{2}- \frac{ a^{2} }{2}}}{\sqrt{ b^{2}- \frac{ a^{2} }{4} }}}\)

Dlatego to moje V równa się:
\(\displaystyle{ V=\cdot \frac{1}{6} a \cdot \sqrt{ b^{2}- \frac{ a^{2} }{4} } \cdot a\frac{\sqrt{b^{2}- \frac{ a^{2} }{2}}}{\sqrt{ b^{2}- \frac{ a^{2} }{4} }}}\)

A po skróceniu wyszło mi tak:

\(\displaystyle{ V=\frac{1}{6} a^{2} \sqrt{b^{2}- \frac{ a^{2} }{2}}}\)

Pozdrawiam
Ps.: Dla pewności posprawdzałem to na liczbach i mi powychodziło . Eh.. jednak ma się ta pamięć .