Matematyka.pl

Czy istnieje w przestrzeni łamana zamknięta o prostopadłych* i równych bokach
*chodzi o boki o wspólnym wierzchołku.

Na przykład kwadrat?

O nieparzystej liczbie boków....

Takich łamanych jest nieskończenie wiele.
Np:
\(\displaystyle{ ( \frac{a}{2}, 0,0) \ - \ ( \frac{a}{2}, 0,a) \ - \ ( \frac{a \sqrt{2} }{2},\frac{a \sqrt{1+2 \sqrt{2} } }{2},a) \ - \ ( \frac{a \sqrt{2} }{2}, \frac{a \sqrt{1+2 \sqrt{2} } }{2},0) \ - \ (0,\frac{a \sqrt{1+2 \sqrt{2} } }{2} ,0) - \\

\ - \ ( \frac{-a \sqrt{2} }{2}, \frac{a (\sqrt{1+2 \sqrt{2} } + \sqrt{2} )}{2} ,0) \ - \ ( \frac{-a \sqrt{2} }{2}, \frac{a \sqrt{1+2 \sqrt{2} } }{2},a) \ - \ ( \frac{-a}{2}, 0,a) \ - \ ( \frac{-a}{2}, 0,0) \ - \ ( \frac{a}{2}, 0,0)}\)

kerajs pisze: ↑21 mar 2024, o 08:59 Takich łamanych jest nieskończenie wiele.
Np:
\(\displaystyle{ ( \frac{a}{2}, 0,0) \ - \ ( \frac{a}{2}, 0,a) \ - \ ( \frac{a \sqrt{2} }{2},\frac{a \sqrt{1+2 \sqrt{2} } }{2},a) \ - \ ( \frac{a \sqrt{2} }{2}, \frac{a \sqrt{1+2 \sqrt{2} } }{2},0) \ -\red{ \ (0,\frac{a \sqrt{1+2 \sqrt{2} } }{2} ,0) - } \\

\red{\ - \ ( \frac{-a \sqrt{2} }{2}, \frac{a (\sqrt{1+2 \sqrt{2} } + \sqrt{2} )}{2} ,0) \ - \ ( \frac{-a \sqrt{2} }{2}, \frac{a \sqrt{1+2 \sqrt{2} } }{2},a) }\ - \ ( \frac{-a}{2}, 0,a) \ - \ ( \frac{-a}{2}, 0,0) \ - \ ( \frac{a}{2}, 0,0)}\)

Jeżeli oznaczymy trzy kolejne punkty tej łamanej
\(\displaystyle{ A= (0,\frac{a \sqrt{1+2 \sqrt{2} } }{2} ,0),\ B= ( \frac{-a \sqrt{2} }{2}, \frac{a (\sqrt{1+2 \sqrt{2} } + \sqrt{2} )}{2} ,0),\ C= ( \frac{-a \sqrt{2} }{2}, \frac{a \sqrt{1+2 \sqrt{2} } }{2},a) }\) i przyjmiemy `a=2`, to
\(\displaystyle{ \vec{AB}=[-\sqrt2,\sqrt2,0],\ \vec{BC}=[0,-\sqrt2,2]}\), czyli \(\displaystyle{ \vec{AB}\circ\vec{BC}=-2}\), więc te kawałki łamanej nie są prostopadłe.


Natomiast stwierdzenie, że takich łamanych jest nieskończenie wiele jest prawdziwe. Nazwijmy `m`-płotkiem łamaną `(0,0)-(1,1)-(2,0)-(3,1)-...-(2m,0)`. Oczywiście na dowolnej płaszczyźnie między dwoma punktami odległymi o `2m` można umieścić kopię takiego `m`-płotka




Weźmy teraz prostopadłościenne pudełko o wymiarach `2m\times\2n\times\1`. Na bokach `2m\times 1` rysujemy dwa `m`-płotki i łączymy je z jednej strony krawędzią prostopadłościanu, a z drugiej strony `n`-płotkiem leżącym w płaszczyźnie nachylonej pod kątem `\pi/4` do przylegających do nich ścian.

Najkrótszą (w sensie ilości odcinków) jest łamana `(1,-1,0)-(-1,-1,0)-(-1,1,0)-(1,1,0)-(1,0,1)`.

Do dajmy jeszcze, że na sferze istnieje taka łamana złożona z trzech odcinków: `0E,0N - 90E,0N -` biegun którykolwiek

Dodano po 28 minutach 50 sekundach:
I dopiero teraz zauważyłem, że boki mają być równe.
Zatem poprawiam.
Nazwijmy meandrem łamaną postaci `(0,0)-(0,1)-(1,1)-(1,0)-(2,0)-(2,1)-...-(n,1)-(n,0)` (`n` jest nieparzyste), Narysujmy na płąszczyźnie trapez równoramienny o podstawach `1`, `\sqrt2` i bokach długości `n`. Szukana łamana będzie składać się z krótszej podstawy trapezu, dwóch boków kwadratu, którego przekątną jest dolna podstawa, oraz dwóch meandrów narysowanych na prostokątach `n\times1` ustawionych prostopadle do płaszczyzny na nierównoległych bokach trapezu.

Istotnie, omyłkowo zamieniłem y-greki w dwóch kolejnych punktach.
Zamiast:

kerajs pisze: ↑21 mar 2024, o 08:59 \(\displaystyle{ ... \ - \ (0,\frac{a \sqrt{1+2 \sqrt{2} } }{2} ,0) - \\
\ - \ ( \frac{-a \sqrt{2} }{2}, \frac{a (\sqrt{1+2 \sqrt{2} } + \sqrt{2} )}{2} ,0) \ - \ ... }\)

miało być:

\(\displaystyle{ ... \ - \ (0,\frac{a (\sqrt{1+2 \sqrt{2} } + \sqrt{2} )}{2} ,0) - \\
\ - \ ( \frac{-a \sqrt{2} }{2}, \frac{a \sqrt{1+2 \sqrt{2} } }{2} ,0) \ - \ ... }\)

Można wykorzystać więcej równoległych płaszczyzn odległych od siebie o ustalone \(\displaystyle{ a}\) . Np:

\(\displaystyle{ ( \frac{a}{2}, 0,2a) \ - \ ( \frac{a}{2}, 0,a) \ - \ ( \frac{a \sqrt{2} }{2},\frac{a \sqrt{1+2 \sqrt{2} } }{2},a) \ - \ ( \frac{a \sqrt{2} }{2}, \frac{a \sqrt{1+2 \sqrt{2} } }{2},0) \ - \ (0,\frac{a (\sqrt{1+2 \sqrt{2} } + \sqrt{2} )}{2} ,0) - \\
\ - \ ( \frac{-a \sqrt{2} }{2}, \frac{a \sqrt{1+2 \sqrt{2} } }{2} ,0) \ - \ ( \frac{-a \sqrt{2} }{2}, \frac{a \sqrt{1+2 \sqrt{2} } }{2},a) \ - \ ( \frac{-a}{2}, 0,a) \ - \ ( \frac{-a}{2}, 0,2a) \ - \ ( \frac{a}{2}, 0,2a)}\)