Krawędzie wielościanu

Sześciany. Wielościany. Kule. Inne bryły. Zadania i twierdzenia z nimi związane. Geometria rzutowa w przestrzeni.
Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11266
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 3143 razy
Pomógł: 747 razy

Krawędzie wielościanu

Post autor: mol_ksiazkowy »

Udowodnić, że w dowolnym wielościanie wypukłym istnieją ściany o tej samej liczbie krawędzi.
Ostatnio zmieniony 3 wrz 2022, o 23:28 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Interpunkcja.
Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8570
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 306 razy
Pomógł: 3347 razy

Re: Krawędzie wielościanu

Post autor: kerajs »

Ad hoc:
Sąsiednie ściany mają tylko jedną wspólną krawędź. Niech ścianą o największej ilości krawędzi będzie n-kąt. Oznacza to, że musi ona mieć \(\displaystyle{ n}\) sąsiadów o mniejszej, więc wśród \(\displaystyle{ n}\) wielokątów od 3-kąta do (n-1)-kąta (lub nawet do n-kąta) muszą istnieć wielokąty o takiej samej ilości krawędzi.
3a174ad9764fefcb
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 287
Rejestracja: 18 lip 2022, o 17:46
Płeć: Mężczyzna
wiek: 40
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 41 razy

Re: Krawędzie wielościanu

Post autor: 3a174ad9764fefcb »

kerajs pisze: 3 wrz 2022, o 22:55 Oznacza to, że musi ona mieć \(\displaystyle{ n}\) sąsiadów o mniejszej,
Mniejszej lub równej, ale ta usterka nie psuje dowodu.

Można też tak. Niech \(n\) będzie liczbą ścian. Wtedy każda ściana ma co najwyżej \(n-1\) sąsiadujących ścian, czyli co najwyżej \(n-1\) krawędzi. Ciąg dalszy jak w rozwiązaniu kerajsa.

Jeszcze inny sposób to spojrzenie na wielościan dualny jako na graf. Tzn. wierzchołkami grafu są ściany oryginalnego wielościanu i wierzchołki w grafie sąsiadują ze sobą jeśli ściany wielościanu mają wspólną krawędź. Wtedy powołujemy się na fakt, że w każdym grafie istnieją wierzchołki o takich samych stopniach.
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Krawędzie wielościanu

Post autor: a4karo »

To oczywiście ten sam motyw, ale wykonanie trochę inne. Każda ściana jest co najmniej trójkątem, więc jeżeli ścian jest `n`, to ta o największej ilości krawędzi ma ich co najmniej `n+2`. Ale sąsiadować z nią może co najwyżej `n-1` ścian.
ODPOWIEDZ