Krawędzie wielościanu
- mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11417
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3155 razy
- Pomógł: 748 razy
Krawędzie wielościanu
Udowodnić, że w dowolnym wielościanie wypukłym istnieją ściany o tej samej liczbie krawędzi.
Ostatnio zmieniony 3 wrz 2022, o 23:28 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Interpunkcja.
Powód: Interpunkcja.
- kerajs
- Użytkownik
- Posty: 8585
- Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 307 razy
- Pomógł: 3351 razy
Re: Krawędzie wielościanu
Ad hoc:
Sąsiednie ściany mają tylko jedną wspólną krawędź. Niech ścianą o największej ilości krawędzi będzie n-kąt. Oznacza to, że musi ona mieć \(\displaystyle{ n}\) sąsiadów o mniejszej, więc wśród \(\displaystyle{ n}\) wielokątów od 3-kąta do (n-1)-kąta (lub nawet do n-kąta) muszą istnieć wielokąty o takiej samej ilości krawędzi.
Sąsiednie ściany mają tylko jedną wspólną krawędź. Niech ścianą o największej ilości krawędzi będzie n-kąt. Oznacza to, że musi ona mieć \(\displaystyle{ n}\) sąsiadów o mniejszej, więc wśród \(\displaystyle{ n}\) wielokątów od 3-kąta do (n-1)-kąta (lub nawet do n-kąta) muszą istnieć wielokąty o takiej samej ilości krawędzi.
-
- Użytkownik
- Posty: 287
- Rejestracja: 18 lip 2022, o 17:46
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 40
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 41 razy
Re: Krawędzie wielościanu
Mniejszej lub równej, ale ta usterka nie psuje dowodu.
Można też tak. Niech \(n\) będzie liczbą ścian. Wtedy każda ściana ma co najwyżej \(n-1\) sąsiadujących ścian, czyli co najwyżej \(n-1\) krawędzi. Ciąg dalszy jak w rozwiązaniu kerajsa.
Jeszcze inny sposób to spojrzenie na wielościan dualny jako na graf. Tzn. wierzchołkami grafu są ściany oryginalnego wielościanu i wierzchołki w grafie sąsiadują ze sobą jeśli ściany wielościanu mają wspólną krawędź. Wtedy powołujemy się na fakt, że w każdym grafie istnieją wierzchołki o takich samych stopniach.
-
- Użytkownik
- Posty: 22211
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3755 razy
Re: Krawędzie wielościanu
To oczywiście ten sam motyw, ale wykonanie trochę inne. Każda ściana jest co najmniej trójkątem, więc jeżeli ścian jest `n`, to ta o największej ilości krawędzi ma ich co najmniej `n+2`. Ale sąsiadować z nią może co najwyżej `n-1` ścian.