Kąt między ścianami ostrosłupa
- kinia7
- Użytkownik
- Posty: 704
- Rejestracja: 28 lis 2012, o 11:58
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 89 razy
- Pomógł: 94 razy
Kąt między ścianami ostrosłupa
Ostrosłup którego podstawą jest prostokąt o bokach a i b ma wszystkie krawędzie boczne długości k.
Oblicz kąt między sąsiednimi ścianami bocznymi.
wyszło mi coś takiego
\(\displaystyle{ \cos {\alpha} = 1 - \frac{ (k+b)^2 \cdot (a^2+b^2) }{ b^3 \cdot (2k+ b) }}\)
czy mógłby ktoś to sprawdzić?
-- 12 sty 2013, o 17:54 --
Prooooooooszę
Oblicz kąt między sąsiednimi ścianami bocznymi.
wyszło mi coś takiego
\(\displaystyle{ \cos {\alpha} = 1 - \frac{ (k+b)^2 \cdot (a^2+b^2) }{ b^3 \cdot (2k+ b) }}\)
czy mógłby ktoś to sprawdzić?
-- 12 sty 2013, o 17:54 --
Prooooooooszę
Ostatnio zmieniony 31 maja 2013, o 11:03 przez Chromosom, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
-
- Użytkownik
- Posty: 106
- Rejestracja: 17 gru 2012, o 23:56
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 7 razy
- Pomógł: 31 razy
Kąt między ścianami ostrosłupa
O, ciekawe zadanie, tutaj się korzysta z twierdzenia cosinusów skoro liczyłaś cosinus, ale jak obliczyć długość \(\displaystyle{ \left| EC\right|}\) oraz \(\displaystyle{ \left| SE\right|}\)? Bo tych przyprostokątnych potrzebujemy skoro mamy policzyć ramienia tego trójkąta (bo wiemy, że ta na przeciw tego kąta to \(\displaystyle{ \sqrt{a ^{2}+b ^{2} }}\), prawda?)
Ja bym rozłożył \(\displaystyle{ k=p+q}\), gdzie te dwie niewiadome to długości boków o które pytam, i później z pitagorasa, ale nie chciało mi wyjść (tzn. wprowadzam do tego cosinusa dodatkowe niewiadome).
Ja bym rozłożył \(\displaystyle{ k=p+q}\), gdzie te dwie niewiadome to długości boków o które pytam, i później z pitagorasa, ale nie chciało mi wyjść (tzn. wprowadzam do tego cosinusa dodatkowe niewiadome).
-
- Użytkownik
- Posty: 16328
- Rejestracja: 26 lis 2008, o 20:14
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 35 razy
- Pomógł: 3248 razy
Kąt między ścianami ostrosłupa
\(\displaystyle{ |BE|}\) (wysokość trójkąta \(\displaystyle{ BCS}\) poprowadzona na bok \(\displaystyle{ CS}\)) wyjdzie z porównania pól trójkąta \(\displaystyle{ BCS}\)
Najpierw wysokość trójkąta z Pitagorasa.
Potem równanie:
\(\displaystyle{ \frac{b \sqrt{k^2- \frac{1}{4} b^2} }{2}= \frac{k|EB|}{2}}\)
Najpierw wysokość trójkąta z Pitagorasa.
Potem równanie:
\(\displaystyle{ \frac{b \sqrt{k^2- \frac{1}{4} b^2} }{2}= \frac{k|EB|}{2}}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 106
- Rejestracja: 17 gru 2012, o 23:56
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 7 razy
- Pomógł: 31 razy
Kąt między ścianami ostrosłupa
Teraz to widzę, świetny pomysł! Ale ten cosinus jakiś znaczniej bardziej udziwniony mi wychodzi:
\(\displaystyle{ cos \alpha=\left( -a^2-b^2+ \left( \frac{a^2(k^2- \frac{1}{4}a^2)+b^2(k^2- \frac{1}{4}b^2) }{k ^{2} }\right) \right)\left( \frac{k^2}{2ab \sqrt{(k^2- \frac{1}{4}a^2)(k^2- \frac{1}{4}b^2)} } \right)}\)
Teraz będę szukać błędu u siebie
Edit. już chyba widzę - te \(\displaystyle{ - a^{2}-b ^{2}}\) włączyć do mianownika i wyłaczyć przed nawias kwadrat a i b
\(\displaystyle{ cos \alpha=\left( -a^2-b^2+ \left( \frac{a^2(k^2- \frac{1}{4}a^2)+b^2(k^2- \frac{1}{4}b^2) }{k ^{2} }\right) \right)\left( \frac{k^2}{2ab \sqrt{(k^2- \frac{1}{4}a^2)(k^2- \frac{1}{4}b^2)} } \right)}\)
Teraz będę szukać błędu u siebie
Edit. już chyba widzę - te \(\displaystyle{ - a^{2}-b ^{2}}\) włączyć do mianownika i wyłaczyć przed nawias kwadrat a i b
Ostatnio zmieniony 12 sty 2013, o 23:55 przez arcan, łącznie zmieniany 1 raz.
-
- Użytkownik
- Posty: 106
- Rejestracja: 17 gru 2012, o 23:56
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 7 razy
- Pomógł: 31 razy
Kąt między ścianami ostrosłupa
A tak się dziwiłem czemu taki prosty ten wynik, a mi po uproszczeniu wyszo:
\(\displaystyle{ \frac{-\frac{1}{4}a ^{4}- \frac{1}{4}b ^{4} }{2ab \sqrt{(k^2- \frac{1}{4}a^2)(k^2- \frac{1}{4}b^2)}}}\)
Chociaż nie wiem czy to jest dobrze.
Ale bez pomysłu z tymi polami bym sobie nie poradził za co bardzo dziekuje!
\(\displaystyle{ \frac{-\frac{1}{4}a ^{4}- \frac{1}{4}b ^{4} }{2ab \sqrt{(k^2- \frac{1}{4}a^2)(k^2- \frac{1}{4}b^2)}}}\)
Chociaż nie wiem czy to jest dobrze.
Ale bez pomysłu z tymi polami bym sobie nie poradził za co bardzo dziekuje!
-
- Użytkownik
- Posty: 16328
- Rejestracja: 26 lis 2008, o 20:14
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 35 razy
- Pomógł: 3248 razy
Kąt między ścianami ostrosłupa
Wyszło mi tak:
\(\displaystyle{ \cos\alpha= -\frac{a^4+b^4}{2ab \sqrt{4k^2-a^2} \sqrt{4k^2-b^2} }}\)
Chyba, że gdzieś się znowu pomyliłam.
\(\displaystyle{ \cos\alpha= -\frac{a^4+b^4}{2ab \sqrt{4k^2-a^2} \sqrt{4k^2-b^2} }}\)
Chyba, że gdzieś się znowu pomyliłam.
Ostatnio zmieniony 14 sty 2013, o 16:26 przez anna_, łącznie zmieniany 1 raz.
- bb314
- Użytkownik
- Posty: 871
- Rejestracja: 3 sie 2012, o 19:01
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Namysłów
- Podziękował: 7 razy
- Pomógł: 321 razy
Kąt między ścianami ostrosłupa
arcan pisze:... mi po uproszczeniu wyszo:
\(\displaystyle{ \cos\alpha=\frac{-\frac{1}{4}a ^{4}- \frac{1}{4}b ^{4} }{2ab \sqrt{(k^2- \frac{1}{4}a^2)(k^2- \frac{1}{4}b^2)}}}\)
Czyli wyszło Wam to samo.anna_ pisze:Wyszło mi tak:
\(\displaystyle{ \cos\alpha= -\frac{a^4+b^2}{2ab \sqrt{4k^2-a^2} \sqrt{4k^2-b^2} }}\)
Mnie wyszło trochę inaczej:
\(\displaystyle{ \blue cos\alpha=\frac{-ab}{\sqrt{(4k^2-a^2)(4k^2-b^2)}}}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 16328
- Rejestracja: 26 lis 2008, o 20:14
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 35 razy
- Pomógł: 3248 razy
Kąt między ścianami ostrosłupa
Zmieniłam \(\displaystyle{ b^2}\) na \(\displaystyle{ b^4}\), a błędu szukać nie będę, bo autor jakoś mało jest zainteresowany tym rozwiązaniem.
- kinia7
- Użytkownik
- Posty: 704
- Rejestracja: 28 lis 2012, o 11:58
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 89 razy
- Pomógł: 94 razy
Kąt między ścianami ostrosłupa
Jak mam się przekonać które rozwiązanie jest właściwe. W wikipedi jest podany kąt między ścianami w ośmiościanie foremnym \(\displaystyle{ \alpha=2\arcsin\sqrt{\frac23} \approx 109^\circ,47}\)
nasz ostrosłup będzie połową tego ośmiościanu gdy k=b=a
\(\displaystyle{ \cos\alpha= -\frac{a^4+b^4}{2ab \sqrt{4k^2-a^2} \sqrt{4k^2-b^2} }= - \frac{ a^{4} + a^{4} }{ 2aa \sqrt{4a^{2}-a^{2}} \sqrt{4a^{2}-a^{2}} }=-\frac{2a^{4} }{ 2a^{2}\cdot 3a^{2}}= - \frac{1}{3}}\)
\(\displaystyle{ cos\alpha=\frac{-ab}{\sqrt{(4k^2-a^2)(4k^2-b^2)}}=\frac{-a\cdot a }{ \sqrt{(4a^{2}-a^{2})(4a^{2}-a^{2})} }=\frac{ -a^2 }{ 3a^{2} }=- \frac{1}{3}}\)
oba wzory dają ten sam wynik ale czy to jest to samo co w wikipedi?
i dlaczego te dwa wzory dają ten sam wynik chociaż się różnią
nasz ostrosłup będzie połową tego ośmiościanu gdy k=b=a
\(\displaystyle{ \cos\alpha= -\frac{a^4+b^4}{2ab \sqrt{4k^2-a^2} \sqrt{4k^2-b^2} }= - \frac{ a^{4} + a^{4} }{ 2aa \sqrt{4a^{2}-a^{2}} \sqrt{4a^{2}-a^{2}} }=-\frac{2a^{4} }{ 2a^{2}\cdot 3a^{2}}= - \frac{1}{3}}\)
\(\displaystyle{ cos\alpha=\frac{-ab}{\sqrt{(4k^2-a^2)(4k^2-b^2)}}=\frac{-a\cdot a }{ \sqrt{(4a^{2}-a^{2})(4a^{2}-a^{2})} }=\frac{ -a^2 }{ 3a^{2} }=- \frac{1}{3}}\)
oba wzory dają ten sam wynik ale czy to jest to samo co w wikipedi?
i dlaczego te dwa wzory dają ten sam wynik chociaż się różnią
- kinia7
- Użytkownik
- Posty: 704
- Rejestracja: 28 lis 2012, o 11:58
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 89 razy
- Pomógł: 94 razy
Kąt między ścianami ostrosłupa
Ale ja przyjęłam do obliczeń k=b=a, więc podstawą jest kwadrat o boku a i wszystkie ściany są trójkątami równobocznymi. A to po to, żeby sprawdzić wynik z wikipedią bo tam jest podany kąt między ścianami ośmiościanu, którego nasz ostrosłup jest wtedy połową