2. Długości boków czworokąta, w który można wpisać koło i na którym można opisać koło są równe \(\displaystyle{ a,b,c,d}\). Udowodnij, że pole \(\displaystyle{ S}\) tego czworokąta wyraża się wzorem \(\displaystyle{ S=\sqrt{abcd}}\).
To jest rozwiązanie do 1.
1)
[ciach]
Skopiowane
2)
A tutaj udało mnie się udowodnić:
Skoro czworokąt jest wpisany w okrąg to użyję wzoru
\(\displaystyle{ S=\sqrt {(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}}\)
gdzie p to połowa obwodu.
Skoro w czworokąt można wpisać okrąg to a+c=b+d więc
\(\displaystyle{ p= \frac{ a+b+c+d}{2}=a+c=b+d }\)
a wtedy
\(\displaystyle{ S=\sqrt {(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}= \sqrt {(a+c-a)(b+d-b)(a+c-c)(b+d-d)}= \sqrt{cdab}= \sqrt{abcd} }\)
Moje pytanie brzmi czy istnieje jakieś błyskotliwsze i prostsze rozwiązanie z jakimś wyszukanym twierdzeniem które można zapisać w jednej linijce.
