Matematyka.pl

Dany jest sześcian \(\displaystyle{ ABCDA_1B_1C_1D_1}\). Punkt \(\displaystyle{ O}\) jest punktem przecięcia przykątnych kwadratu \(\displaystyle{ ADD_1A_1}\), punkt \(\displaystyle{ E}\) jest środkiem krawędzi \(\displaystyle{ AB}\). Czy proste \(\displaystyle{ OB_1}\) i \(\displaystyle{ EC}\) są prostopadłe? Odpowiedź uzasadnij.

Jak to zrobić? Może mi ktoś pomóc?

próbowałeś z twierdzenia o trzech prostopadłych?

\(OB_1\perp EC \iff FB \perp EC\) gdzie \(F\) jest rzutem \(O\) na płaszczyznę \(ABCD\) (czyli \(F\) jest środkiem krawędzi \(AD\))

Aha no ok, no to w takim razie uważam, że \(\displaystyle{ OB_1\perp EC}\), bo kąty \(\displaystyle{ FBA}\) i \(\displaystyle{ BCE}\) są równe, a kąt \(\displaystyle{ FBC}\) jest dopełnieniem tego kąta \(\displaystyle{ FBA}\) do \(\displaystyle{ 90^\circ}\). Zatem kąt między prostymi \(\displaystyle{ FB}\) i \(\displaystyle{ EC}\) jest prosty, co oznacza, że proste \(\displaystyle{ OB_1}\) i \(\displaystyle{ EC}\) są prostopadłe.

Dobrze?