Matematyka.pl

Punkty \(\displaystyle{ A, B, C , D}\) w przestrzeni są takie, że kąty \(\displaystyle{ ABC, BCD, CDA, DAB}\) są równe \(\displaystyle{ 90^{o}}\). Udowodnić, że te punkty są współpłaszczyznowe.

Wystarczy wziąć układ wsp. \(\displaystyle{ XYZ}\), przyjmujemy:

\(\displaystyle{ A(a,0,0) \in OX}\)

\(\displaystyle{ B(0,b,0) \in OY}\)

\(\displaystyle{ C(0,0,0) }\)

Współrzędna ixowa punktu \(\displaystyle{ D}\) powinna wynosić \(\displaystyle{ a}\) ponieważ kąt \(\displaystyle{ DAB}\) ma \(\displaystyle{ 90}\) stopni

Współrzędna ygrekowa punktu \(\displaystyle{ D}\) powinna wynosić \(\displaystyle{ b}\) ponieważ kąt \(\displaystyle{ DBC}\) ma \(\displaystyle{ 90}\) stopni

Czyli współrzędne punktu \(\displaystyle{ D}\) powinny być:

\(\displaystyle{ D(a,b,x)}\)

Teraz z Tw. Pitagorasa:

\(\displaystyle{ a^2+b^2=x^2+a^2+b^2+x^2}\)

Z tego wynika, że:

\(\displaystyle{ x=0}\)

Znaczy, że punkty: \(\displaystyle{ A, B, C, D}\) są współpłaszczyznowe...

Skorzystamy z oczywistego faktu: jeśli wektory \(\displaystyle{ u, v, w \in \mathbb{R}^3}\) spełniają \(\displaystyle{ u \perp w}\) i \(\displaystyle{ v \perp w}\), to \(\displaystyle{ u+v \perp w}\).

Niech \(\displaystyle{ t = \vec{AB} + \vec{CD} = \vec{AD} + \vec{CB}}\). Mamy

\(\displaystyle{ \begin{cases} \vec{AB} \perp \vec{AD}, \\ \vec{AB} \perp \vec{CB}, \end{cases}}\)

zatem z faktu \(\displaystyle{ \vec{AB} \perp t}\). Mamy też

\(\displaystyle{ \begin{cases} \vec{CD} \perp \vec{AD}, \\ \vec{CD} \perp \vec{CB}, \end{cases}}\)

a stąd \(\displaystyle{ \vec{CD} \perp t}\). Znów korzystając z faktu, otrzymujemy ostatecznie \(\displaystyle{ t \perp t}\), czyli \(\displaystyle{ t=0}\). To zaś oznacza, że

\(\displaystyle{ \vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AB} + (\vec{AD} - t) = \vec{AB} + \vec{AD}}\),

czyli punkty \(\displaystyle{ A}\), \(\displaystyle{ B}\), \(\displaystyle{ C}\), \(\displaystyle{ D}\) leżą na jednej płaszczyźnie.