Cztery punkty
- mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11417
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3155 razy
- Pomógł: 748 razy
Cztery punkty
Punkty \(\displaystyle{ A, B, C , D}\) w przestrzeni są takie, że kąty \(\displaystyle{ ABC, BCD, CDA, DAB}\) są równe \(\displaystyle{ 90^{o}}\). Udowodnić, że te punkty są współpłaszczyznowe.
- arek1357
- Użytkownik
- Posty: 5749
- Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: blisko
- Podziękował: 131 razy
- Pomógł: 526 razy
Re: Cztery punkty
Wystarczy wziąć układ wsp. \(\displaystyle{ XYZ}\), przyjmujemy:
\(\displaystyle{ A(a,0,0) \in OX}\)
\(\displaystyle{ B(0,b,0) \in OY}\)
\(\displaystyle{ C(0,0,0) }\)
Współrzędna ixowa punktu \(\displaystyle{ D}\) powinna wynosić \(\displaystyle{ a}\) ponieważ kąt \(\displaystyle{ DAB}\) ma \(\displaystyle{ 90}\) stopni
Współrzędna ygrekowa punktu \(\displaystyle{ D}\) powinna wynosić \(\displaystyle{ b}\) ponieważ kąt \(\displaystyle{ DBC}\) ma \(\displaystyle{ 90}\) stopni
Czyli współrzędne punktu \(\displaystyle{ D}\) powinny być:
\(\displaystyle{ D(a,b,x)}\)
Teraz z Tw. Pitagorasa:
\(\displaystyle{ a^2+b^2=x^2+a^2+b^2+x^2}\)
Z tego wynika, że:
\(\displaystyle{ x=0}\)
Znaczy, że punkty: \(\displaystyle{ A, B, C, D}\) są współpłaszczyznowe...
\(\displaystyle{ A(a,0,0) \in OX}\)
\(\displaystyle{ B(0,b,0) \in OY}\)
\(\displaystyle{ C(0,0,0) }\)
Współrzędna ixowa punktu \(\displaystyle{ D}\) powinna wynosić \(\displaystyle{ a}\) ponieważ kąt \(\displaystyle{ DAB}\) ma \(\displaystyle{ 90}\) stopni
Współrzędna ygrekowa punktu \(\displaystyle{ D}\) powinna wynosić \(\displaystyle{ b}\) ponieważ kąt \(\displaystyle{ DBC}\) ma \(\displaystyle{ 90}\) stopni
Czyli współrzędne punktu \(\displaystyle{ D}\) powinny być:
\(\displaystyle{ D(a,b,x)}\)
Teraz z Tw. Pitagorasa:
\(\displaystyle{ a^2+b^2=x^2+a^2+b^2+x^2}\)
Z tego wynika, że:
\(\displaystyle{ x=0}\)
Znaczy, że punkty: \(\displaystyle{ A, B, C, D}\) są współpłaszczyznowe...
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10227
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2362 razy
Re: Cztery punkty
Skorzystamy z oczywistego faktu: jeśli wektory \(\displaystyle{ u, v, w \in \mathbb{R}^3}\) spełniają \(\displaystyle{ u \perp w}\) i \(\displaystyle{ v \perp w}\), to \(\displaystyle{ u+v \perp w}\).
Niech \(\displaystyle{ t = \vec{AB} + \vec{CD} = \vec{AD} + \vec{CB}}\). Mamy
\(\displaystyle{ \begin{cases} \vec{AB} \perp \vec{AD}, \\ \vec{AB} \perp \vec{CB}, \end{cases}}\)
zatem z faktu \(\displaystyle{ \vec{AB} \perp t}\). Mamy też
\(\displaystyle{ \begin{cases} \vec{CD} \perp \vec{AD}, \\ \vec{CD} \perp \vec{CB}, \end{cases}}\)
a stąd \(\displaystyle{ \vec{CD} \perp t}\). Znów korzystając z faktu, otrzymujemy ostatecznie \(\displaystyle{ t \perp t}\), czyli \(\displaystyle{ t=0}\). To zaś oznacza, że
\(\displaystyle{ \vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AB} + (\vec{AD} - t) = \vec{AB} + \vec{AD}}\),
czyli punkty \(\displaystyle{ A}\), \(\displaystyle{ B}\), \(\displaystyle{ C}\), \(\displaystyle{ D}\) leżą na jednej płaszczyźnie.
Niech \(\displaystyle{ t = \vec{AB} + \vec{CD} = \vec{AD} + \vec{CB}}\). Mamy
\(\displaystyle{ \begin{cases} \vec{AB} \perp \vec{AD}, \\ \vec{AB} \perp \vec{CB}, \end{cases}}\)
zatem z faktu \(\displaystyle{ \vec{AB} \perp t}\). Mamy też
\(\displaystyle{ \begin{cases} \vec{CD} \perp \vec{AD}, \\ \vec{CD} \perp \vec{CB}, \end{cases}}\)
a stąd \(\displaystyle{ \vec{CD} \perp t}\). Znów korzystając z faktu, otrzymujemy ostatecznie \(\displaystyle{ t \perp t}\), czyli \(\displaystyle{ t=0}\). To zaś oznacza, że
\(\displaystyle{ \vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AB} + (\vec{AD} - t) = \vec{AB} + \vec{AD}}\),
czyli punkty \(\displaystyle{ A}\), \(\displaystyle{ B}\), \(\displaystyle{ C}\), \(\displaystyle{ D}\) leżą na jednej płaszczyźnie.