Matematyka.pl

Szukam książki, w której znajdę dowód dwóch poniższych własności. Ewentualnie, jeżeli ktoś ma pomysł w jaki sposób mogłabym te dwie własności udowodnić to bardzo proszę o porady

1. jeżeli zmienna losowa \(\displaystyle{ Y}\) ma rozkład normalny \(\displaystyle{ N(0,1)}\), to \(\displaystyle{ E(e^{Y}) = e^{\frac{1}{2}\sigma^{2}}}\)
2. jeżeli zmienna losowa \(\displaystyle{ X}\) ma rozkład normalny \(\displaystyle{ N(0,1)}\), to \(\displaystyle{ E(X^{2n}) = ce^{2n}, c=const}\).

1. Czy \(\displaystyle{ Y}\) nie powinna mieć rozkładu \(\displaystyle{ N(0, \sigma)}\)? Wtedy z definicji

\(\displaystyle{ \mathbb{E}(e^Y) = \int_{-\infty}^{\infty} e^y \cdot \frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi}} \exp \left( -\frac{y^2}{2 \sigma^2} \right) \, \dd y = \begin{array}{|l|} \phantom{\dd} t = y-\sigma^2 \\ \dd t = \dd y \end{array} = \ldots}\)

2. Podobnie:

\(\displaystyle{ \mathbb{E}(X^{2n}) = \int_{-\infty}^{\infty} x^{2n} \cdot \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \exp \left( -\frac{x^2}{2} \right) \, \dd x = \ldots}\)

i przez części. Ale jeśli się nie pomyliłem, to wychodzi \(\displaystyle{ (2n-1)!!}\), a nie \(\displaystyle{ c e^{2n}}\).

Rzeczywiście, zmienne X i Y powinny mieć rozkład \(\displaystyle{ N(0,\sigma^{2})}\). Bardzo dziękuję za pomoc!