Matematyka.pl

Dzień dobry, proszę o wytłumaczenie jak to zadanie wykonać.

W pewnym teście o wariancji 100 Jaś zdobył 15 pkt. Okazało się, że nieco ponad 84% studentów miało wyniki lepsze od 15 pkt. Ile wynosi średni wynik na teście?

Założenie: zmienna losowa \(\displaystyle{ X }\) - wyników testu ma rozkład \(\displaystyle{ \mathcal{N}(m, \sigma^2) = \mathcal{N} (m, 100).}\)

\(\displaystyle{ Pr(\{X > 15\}) = 0,84 }\)

Standaryzacja do rozkładu \(\displaystyle{ \mathcal{N}(0,1). }\)

\(\displaystyle{ Pr(\{X > 15\}) = Pr\left( \left\{\frac{X-m}{\sigma} > \frac{15 -m}{\sqrt{100}} \right\}\right) = 0,84. }\)

\(\displaystyle{ 1 - Pr\left(\left\{\frac{X-m}{\sigma} > \frac{15 -m}{\sqrt{100}} \right\}\right)= Pr\left( \left\{\frac{X-m}{\sigma} \leq \frac{15 -m}{\sqrt{100}} \right\}\right) = 1- 0,84 = 0,16.}\)

\(\displaystyle{ \phi\left(\frac{15 -m}{10} \right) = 0,16.}\)

Z tablicy dystrybuanty standaryzowanego rozkładu normalnego lub programu komputerowego na przykład R

Program R \(\displaystyle{ \phi\left(\frac{15 -m}{10} \right) \approx \phi (-0,994).}\)

\(\displaystyle{ \frac{15-m}{10} = -0,994 }\)

\(\displaystyle{ 15 - m = -9,94 }\)

\(\displaystyle{ m = 15 + 9,94 = 24,94 }\)

Odpowiedź : średni wynik w teście wynosi \(\displaystyle{ 25 }\) punktów.