Dzień dobry, proszę o wytłumaczenie jak to zadanie wykonać.
W pewnym teście o wariancji 100 Jaś zdobył 15 pkt. Okazało się, że nieco ponad 84% studentów miało wyniki lepsze od 15 pkt. Ile wynosi średni wynik na teście?
Zadanie z rozkładu normalnego
-
- Użytkownik
- Posty: 7923
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1672 razy
Re: Zadanie z rozkładu normalnego
Założenie: zmienna losowa \(\displaystyle{ X }\) - wyników testu ma rozkład \(\displaystyle{ \mathcal{N}(m, \sigma^2) = \mathcal{N} (m, 100).}\)
\(\displaystyle{ Pr(\{X > 15\}) = 0,84 }\)
Standaryzacja do rozkładu \(\displaystyle{ \mathcal{N}(0,1). }\)
\(\displaystyle{ Pr(\{X > 15\}) = Pr\left( \left\{\frac{X-m}{\sigma} > \frac{15 -m}{\sqrt{100}} \right\}\right) = 0,84. }\)
\(\displaystyle{ 1 - Pr\left(\left\{\frac{X-m}{\sigma} > \frac{15 -m}{\sqrt{100}} \right\}\right)= Pr\left( \left\{\frac{X-m}{\sigma} \leq \frac{15 -m}{\sqrt{100}} \right\}\right) = 1- 0,84 = 0,16.}\)
\(\displaystyle{ \phi\left(\frac{15 -m}{10} \right) = 0,16.}\)
Z tablicy dystrybuanty standaryzowanego rozkładu normalnego lub programu komputerowego na przykład R
Program R
\(\displaystyle{ \phi\left(\frac{15 -m}{10} \right) \approx \phi (-0,994).}\)
\(\displaystyle{ \frac{15-m}{10} = -0,994 }\)
\(\displaystyle{ 15 - m = -9,94 }\)
\(\displaystyle{ m = 15 + 9,94 = 24,94 }\)
Odpowiedź : średni wynik w teście wynosi \(\displaystyle{ 25 }\) punktów.
\(\displaystyle{ Pr(\{X > 15\}) = 0,84 }\)
Standaryzacja do rozkładu \(\displaystyle{ \mathcal{N}(0,1). }\)
\(\displaystyle{ Pr(\{X > 15\}) = Pr\left( \left\{\frac{X-m}{\sigma} > \frac{15 -m}{\sqrt{100}} \right\}\right) = 0,84. }\)
\(\displaystyle{ 1 - Pr\left(\left\{\frac{X-m}{\sigma} > \frac{15 -m}{\sqrt{100}} \right\}\right)= Pr\left( \left\{\frac{X-m}{\sigma} \leq \frac{15 -m}{\sqrt{100}} \right\}\right) = 1- 0,84 = 0,16.}\)
\(\displaystyle{ \phi\left(\frac{15 -m}{10} \right) = 0,16.}\)
Z tablicy dystrybuanty standaryzowanego rozkładu normalnego lub programu komputerowego na przykład R
Program R
Kod: Zaznacz cały
> qnorm(0.16)
[1] -0.9944579
\(\displaystyle{ \frac{15-m}{10} = -0,994 }\)
\(\displaystyle{ 15 - m = -9,94 }\)
\(\displaystyle{ m = 15 + 9,94 = 24,94 }\)
Odpowiedź : średni wynik w teście wynosi \(\displaystyle{ 25 }\) punktów.