Wie ktoś może jak uzasadnić równość tego, co jest zaznaczone w kółeczkach i wyprowadzić tożsamość analizy wariancji? Zadanie pochodzi ze statystyki a konkretniej z rozdziału dotyczącego metody najmniejszych kwadratów.
EDIT: Przepraszam najmocniej, pod koniec pierwszej linijki, w pierwszym nawiasie po znaku sumy powinno być oczywiście Y_t z daszkiem odjąć średnia z Y.
Wprowadzenie tożsamości analizy wariancji
-
janusz47
- Użytkownik
- Posty: 7920
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Re: Wprowadzenie tożsamości analizy wariancji
Dla uproszczenia przeprowadzamy ANOVA dla próby \(\displaystyle{ n - }\) elementowej:
\(\displaystyle{ \vec{Y} = [Y_{1}, Y_{2},..., Y_{n}], \ \ Y_{i} \sim \mathcal{N}(\mu_{i}, \sigma^2), \ \ \mu_{i} \in \RR, \ \ \sigma>0. }\)
Weryfikujemy hipotezy:
\(\displaystyle{ H_{0} : \mu_{1}= \mu_{2}= \ \ ... =\mu_{n} = \mu }\) (nieznane),
\(\displaystyle{ H_{1}: \mu_{1} \neq \mu_{2} \neq \ \ ... \ \ \neq\mu_{n}\neq \mu.}\)
Konstruujemy funkcję wiarygodności:
\(\displaystyle{ L(\mu, \sigma, y_{1}, y_{2}, ...,y_{n}) = \prod_{i=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{2\pi} \sigma} \exp \left(\frac{-(y_{i}-\mu)^2}{2\sigma^2}\right) =\frac{1}{(\sqrt{2\pi} \sigma)^{n}} \exp \left( -\frac{1}{2\sigma^2}\sum_{i=1}^{n}(y_{i}- \mu)^2\right).}\)
Obliczamy logarytm naturalny funkcji wiarygodności.
\(\displaystyle{ \ln(L) = -\frac{1}{2\sigma^2} \sum_{i=1}^{n} (y_{i} - \mu)^2 -\frac{n}{2}\ln(\sigma^2)- \frac{n}{2}\ln(2\pi).}\)
Obliczamy pochodne cząstkowe funkcji \(\displaystyle{ \ln L.}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} \frac{ \partial \ln L}{ \partial \mu} = \frac{1}{\sigma^2}\sum_{i=1}^{n}(y_{i}-\mu)= 0 \\ \frac{ \partial \ln L}{ \partial \sigma^2} = \frac{1}{2\sigma^4} \sum_{i=1}^{n}(y_{i}-\mu)^2 = 0 \end{cases} }\)
Rozwiązanie układu równań wiarygodności ma postać:
\(\displaystyle{ \hat{\mu} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} y_{i} = \overline{y}, \ \ \hat{\sigma}^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(y_{i}- \overline{y})^2.}\)
Dla dokładności należałoby jeszcze sprawdzić, że dla tych wartości funkcja wiarygodności osiąga maksimum lokalne.
Nie będziemy przeprowadzać tego sprawdzenia zakładając, że tak jest.
Z rozwiązania układu równań otrzymaliśmy dwa estymatory ANOVA:
\(\displaystyle{ \hat{Y} = \overline{Y}, \ \ \hat{S}^2 = S^2. }\)
O jaką tożsamość analizy wariancji Pan chodzi ?
\(\displaystyle{ \vec{Y} = [Y_{1}, Y_{2},..., Y_{n}], \ \ Y_{i} \sim \mathcal{N}(\mu_{i}, \sigma^2), \ \ \mu_{i} \in \RR, \ \ \sigma>0. }\)
Weryfikujemy hipotezy:
\(\displaystyle{ H_{0} : \mu_{1}= \mu_{2}= \ \ ... =\mu_{n} = \mu }\) (nieznane),
\(\displaystyle{ H_{1}: \mu_{1} \neq \mu_{2} \neq \ \ ... \ \ \neq\mu_{n}\neq \mu.}\)
Konstruujemy funkcję wiarygodności:
\(\displaystyle{ L(\mu, \sigma, y_{1}, y_{2}, ...,y_{n}) = \prod_{i=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{2\pi} \sigma} \exp \left(\frac{-(y_{i}-\mu)^2}{2\sigma^2}\right) =\frac{1}{(\sqrt{2\pi} \sigma)^{n}} \exp \left( -\frac{1}{2\sigma^2}\sum_{i=1}^{n}(y_{i}- \mu)^2\right).}\)
Obliczamy logarytm naturalny funkcji wiarygodności.
\(\displaystyle{ \ln(L) = -\frac{1}{2\sigma^2} \sum_{i=1}^{n} (y_{i} - \mu)^2 -\frac{n}{2}\ln(\sigma^2)- \frac{n}{2}\ln(2\pi).}\)
Obliczamy pochodne cząstkowe funkcji \(\displaystyle{ \ln L.}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} \frac{ \partial \ln L}{ \partial \mu} = \frac{1}{\sigma^2}\sum_{i=1}^{n}(y_{i}-\mu)= 0 \\ \frac{ \partial \ln L}{ \partial \sigma^2} = \frac{1}{2\sigma^4} \sum_{i=1}^{n}(y_{i}-\mu)^2 = 0 \end{cases} }\)
Rozwiązanie układu równań wiarygodności ma postać:
\(\displaystyle{ \hat{\mu} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} y_{i} = \overline{y}, \ \ \hat{\sigma}^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(y_{i}- \overline{y})^2.}\)
Dla dokładności należałoby jeszcze sprawdzić, że dla tych wartości funkcja wiarygodności osiąga maksimum lokalne.
Nie będziemy przeprowadzać tego sprawdzenia zakładając, że tak jest.
Z rozwiązania układu równań otrzymaliśmy dwa estymatory ANOVA:
\(\displaystyle{ \hat{Y} = \overline{Y}, \ \ \hat{S}^2 = S^2. }\)
O jaką tożsamość analizy wariancji Pan chodzi ?
