Niech \(\displaystyle{ x_1,...,x_n}\) będą liczbami rzeczywistymi a \(\displaystyle{ \overline{x} = \frac{x_1 + x_2 + ...+ x_n}{n}}\) ich srednia arytmetyczna. Wtedy
\(\displaystyle{ min_a \sum_{i=1}^n (x_i -a)^2 = \sum_{i=1}^n (x_i -\overline{x})}\)
Trzeba wyjść od tego, że
\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^n (x_i -a)^2 = \sum_{i=1}^n ((x_i-\overline{x})+(\overline{x} -a))^2 = \sum_{i=1}^n (x_i -\overline{x})^2 + 2 \sum_{i=1}^n (x_i - \overline{x})(\overline{x}-a) + \sum_{i=1}^n (\overline{x} -a)^2}\)
Środkowy wyraz w ostatniej równości powinien się wyzerować. Dlaczego?
Własność średniej arytmetycznej
-
- Użytkownik
- Posty: 7330
- Rejestracja: 14 lut 2008, o 08:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Z Bielskia-Białej
- Podziękował: 6 razy
- Pomógł: 961 razy
Własność średniej arytmetycznej
\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n} (x_{i}- \overline{x})( \overline{x}-a)}\)Zauważ,że drugi czynnik tego iloczynu nie zależy od \(\displaystyle{ i}\) i możemy wyłączyć przed nawias
Mamy \(\displaystyle{ (\overline{x}-a) \sum_{i=1}^{n} (x_{i}- \overline{x})}\) teraz jest już łatwiej.
Mamy \(\displaystyle{ (\overline{x}-a) \sum_{i=1}^{n} (x_{i}- \overline{x})}\) teraz jest już łatwiej.
-
- Użytkownik
- Posty: 7330
- Rejestracja: 14 lut 2008, o 08:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Z Bielskia-Białej
- Podziękował: 6 razy
- Pomógł: 961 razy
Własność średniej arytmetycznej
\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n}( \overline{x} -x_{i})=(\overline{x}-x_{1})+( \overline{x}-x_{2})+...+(\overline{x}-x_{n})=n \overline{x} - \sum_{i=1}^{n} x_{i}}\) a z definicji średniej arytmetycznej mamy co chcemy.