Jak rozwiązać poniższe zadanie ze statystyki (czy też rachunku prawdopodobieństwa, ale ponieważ pojawiło się na przedmiocie "Statystyka", to umieszczam je w tym temacie)???
X raz w tygodniu kupuje kupon LottoLos (7 z 49 liczb). Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że nigdy nie trafi 7 cyfr w jednym kuponie, jeśli ten proceder będzie trwał 20 lat?
Na zajęciach doszliśmy do czegoś takiego i prowadzący powiedział, że trzeba tę ostatnią linijkę rozwinąć w szereg Taylora albo/lub (nie pamiętam już którego spójnika użył, bo to było 3 tygodnie temu) liczbę Eulera, ale ja nie wiem jak to zrobić i - z tego co się pytałem moich kolegów i koleżanek - oni również nie wiedzą. A prowadzący jak do niego zgłaszasz się o pomoc... A, przemilczę to lepiej.
\(\displaystyle{
\Omega = \{ \{ a_{1}, a_{2}, ..., a_{7} \} : a_{i} \in \{ 1, ..., 49 \}, a_{i} \neq a_{j} \quad dla \quad i \neq j \}
\\
\left| \Omega \right| = {49 \choose 7} = 85 900 584
\\
P(A) = \frac{1}{\left| \Omega \right| }
\\
P(x_{n} = 0) = {n \choose 0} \cdot p^{0} \cdot (1 - p^{n}) = 1 - p^{n} \Rightarrow (1 - p)^{20 \cdot 52}, bo \quad w \quad roku \quad 52 \quad tygodnie \quad a \quad gra \quad przez \quad 20 \quad lat \quad
\\
(1 - p)^{20 \cdot 52} = (1 - \frac{1}{\left| \Omega \right| })^{1040}
}\)
Niestety nie wiem jak zrobić nową linię, ponieważ \newline ani \\ nie działa, działa tylko \\*, więc gwiazdki proszę zignorować
Szereg Taylora/Liczba Eulera w zadaniu ze statystyki
Szereg Taylora/Liczba Eulera w zadaniu ze statystyki
Ostatnio zmieniony 22 paź 2022, o 15:15 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4060
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 79 razy
- Pomógł: 1391 razy
Re: Szereg Taylora/Liczba Eulera w zadaniu ze statystyki
Być może prowadzący chce zmusić studentów do myślenia. To czcigodna postawa. Ale dam wskazówki o co mogło chodzić:
- Obliczając wartość wyrażanie \(\displaystyle{ (1 - x)^a}\) dla relatywnie małych wartości \(\displaystyle{ x}\) w stosunku do \(\displaystyle{ a}\) można skorzystać z przybliżenia
\(\displaystyle{ (1 - x)^a \approx 1-a x+ \frac{(a-1) a}{2} x^2 }\)lub nawet \(\displaystyle{ 1-a x}\). Błąd takiego przybliżenia powinien być mały. To mógł mieć na myśli prowadzący mówiąc o wzorze Taylora.
- Innym pomysłem standardowym dla ludzi który widzieli aproksymację rozkładu dwumianowego rozkładem Poissona jest zauważanie liczby \(\displaystyle{ e}\) w rachunkach. Chcąc policzyć \(\displaystyle{ (1-1/n)^a}\) dla dużego \(\displaystyle{ n}\) tu \(\displaystyle{ |\Omega|}\) można zauważyć, że
\(\displaystyle{ \left( 1- \frac{1}{n} \right) ^a= \boxed{\text{pewne rachunki}} \approx e^{-a/n}.}\)Przy czym jako ćwiczenie zostawiam udowodnienie tych wzorów.
-
- Administrator
- Posty: 34123
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5192 razy
Re: Szereg Taylora/Liczba Eulera w zadaniu ze statystyki
\newline
nie działa, ale \\
działa bardzo dobrze.JK
Re: Szereg Taylora/Liczba Eulera w zadaniu ze statystyki
Dziękuję bardzo za pomoc Właśnie o to chodziło prowadzącemu. Dopytałem się również czy moja intuicja, aby ten drugi wzorek udowodnić poprzez przejścia graniczne mnie nie zawodzi. Na szczęście nie Prowadzący powiedział również, że mogę spróbować użyć przybliżenia za pomocą liczb/rozwinięcia Stirlinga, aby porównać jeszcze dokładniej czy zawsze wyjdzie ten sam wynik, ale to już zrobię na własną rękę i w razie pojawienia się jakichś wątpliwości odnośnie tego mimo przejrzenia całej masy stron internetowych, to najwyżej założę nowy temat.Janusz Tracz pisze: ↑22 paź 2022, o 14:36 Być może prowadzący chce zmusić studentów do myślenia. To czcigodna postawa. Ale dam wskazówki o co mogło chodzić:
- Obliczając wartość wyrażanie \(\displaystyle{ (1 - x)^a}\) dla relatywnie małych wartości \(\displaystyle{ x}\) w stosunku do \(\displaystyle{ a}\) można skorzystać z przybliżenia
\(\displaystyle{ (1 - x)^a \approx 1-a x+ \frac{(a-1) a}{2} x^2 }\)lub nawet \(\displaystyle{ 1-a x}\). Błąd takiego przybliżenia powinien być mały. To mógł mieć na myśli prowadzący mówiąc o wzorze Taylora.Niemniej jednak warto upewnić się czy to prowadzący miał na myśli. Ja się tylko domyślam, że mogło chodzić o coś takiego.
- Innym pomysłem standardowym dla ludzi który widzieli aproksymację rozkładu dwumianowego rozkładem Poissona jest zauważanie liczby \(\displaystyle{ e}\) w rachunkach. Chcąc policzyć \(\displaystyle{ (1-1/n)^a}\) dla dużego \(\displaystyle{ n}\) tu \(\displaystyle{ |\Omega|}\) można zauważyć, że
\(\displaystyle{ \left( 1- \frac{1}{n} \right) ^a= \boxed{\text{pewne rachunki}} \approx e^{-a/n}.}\)Przy czym jako ćwiczenie zostawiam udowodnienie tych wzorów.
Dodano po 15 dniach 18 godzinach 29 minutach 53 sekundach:
Z twierdzeniem/wzorem Taylora sobie poradziłem. Mam natomiast problem z udowodnieniem tego:Janusz Tracz pisze: ↑22 paź 2022, o 14:36 Być może prowadzący chce zmusić studentów do myślenia. To czcigodna postawa. Ale dam wskazówki o co mogło chodzić:
- Obliczając wartość wyrażanie \(\displaystyle{ (1 - x)^a}\) dla relatywnie małych wartości \(\displaystyle{ x}\) w stosunku do \(\displaystyle{ a}\) można skorzystać z przybliżenia
\(\displaystyle{ (1 - x)^a \approx 1-a x+ \frac{(a-1) a}{2} x^2 }\)lub nawet \(\displaystyle{ 1-a x}\). Błąd takiego przybliżenia powinien być mały. To mógł mieć na myśli prowadzący mówiąc o wzorze Taylora.Niemniej jednak warto upewnić się czy to prowadzący miał na myśli. Ja się tylko domyślam, że mogło chodzić o coś takiego.
- Innym pomysłem standardowym dla ludzi który widzieli aproksymację rozkładu dwumianowego rozkładem Poissona jest zauważanie liczby \(\displaystyle{ e}\) w rachunkach. Chcąc policzyć \(\displaystyle{ (1-1/n)^a}\) dla dużego \(\displaystyle{ n}\) tu \(\displaystyle{ |\Omega|}\) można zauważyć, że
\(\displaystyle{ \left( 1- \frac{1}{n} \right) ^a= \boxed{\text{pewne rachunki}} \approx e^{-a/n}.}\)Przy czym jako ćwiczenie zostawiam udowodnienie tych wzorów.
\(\displaystyle{ \left( 1- \frac{1}{n} \right) ^a= \boxed{\text{pewne rachunki}} \approx e^{-a/n}.}\)
.Udowodniłem, że granica oznaczana liczbą \(\displaystyle{ e}\) istnieje za pomocą twierdzenia o tym, że ciąg rosnący i ograniczony jest zbieżny (w tym lematu mówiącego o tym, że dla każdego \(\displaystyle{ n \ge 3}\) mamy \(\displaystyle{ n!>2^{n-1}}\), nierówności Bernoulliego z \(\displaystyle{ r=n+1 \ge 2}\) i \(\displaystyle{ x=- \frac{1}{(n+1)^{2}} > -1}\) przy rośnięciu a przy ograniczoności z tego, że skoro jest to ciąg liczb dodatnich, to wystarczy udowodnić, że jest on ograniczony z góry a aby to uczynić ze wzoru dwumianowego Newtona, powyższego lematu, wzoru na sumę skończonego ciągu geometrycznego) i próbowałem to zastosować do wzoru, który mam udowodnić, ale nie wyszło. Jakieś inne wskazówki? Przejść granicznych też próbowałem przy dowodzie samej liczby \(\displaystyle{ e}\) i wyśrodkowanego wzoru, ale... Po pierwsze - nie jestem z nich za dobry, po drugie - szukałem wiadomości o nich w Internecie, ale niestety nic nie mogę znaleźć. Za to wyszukałem całą masę informacji o przejściach granicznych w sensie mapy świata a przy szukaniu dowodów na istnienie liczby \(\displaystyle{ e}\) i powyższego wzoru makabrycznie wiele o dowodach osobistych i ich elektronicznych odpowiednikach.
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4060
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 79 razy
- Pomógł: 1391 razy
Re: Szereg Taylora/Liczba Eulera w zadaniu ze statystyki
Więc powtórzę raz jeszcze. Znaczek \(\displaystyle{ \approx }\) nie ma w matematyce formalnej definicji która jest powszechnie przyjęta tak jak to mają znaczki \(\displaystyle{ \ge , \le, \in, \subseteq }\). Przykładowo \(\displaystyle{ \pi \approx 3}\) czy \(\displaystyle{ \pi \approx 3.14}\)? A może żadne z tych. Znaczek \(\displaystyle{ \approx }\) można traktować nieformalnie jako coś relatywnie i racjonalnie bliskiego cokolwiek to znaczy. Jak jesteś inżynierem i piszesz rachunki z \(\displaystyle{ \approx }\) to robisz to na tyle racjonalnie aby most się nie zawalił, a rakieta latała. To nieformalne podejście daje w pewnym sensie wolność rachunkową i pozwala napisać to co napisał Ci a4karo w temacie: Dowód na granicę z liczbą \(\displaystyle{ e}\)
nic poza tym. Bo to jest robione nieformalnie. Należy tylko rozumieć w jakim sensie używamy tego przybliżenia. Przykład sensownego użycia:
motywacją do takiego przybliżenia jest fakt, że lewą stronę liczy się stosunkowo trudno, a prawą każdy kalkulator policzy. Na koniec powiem tylko, że tu nie ma nic do dowodzenia bo nie postawiłeś formalnego pytania. Póki co ja i a4karo pokazujemy mniej lub bardziej sensowne interpretacji \(\displaystyle{ \approx}\).
ale to nieformalne podejście ma też pewne luki (w formalizmie) które próbowałem Ci wskazać pisząc przekornie, że lewa jak i prawa strona dążą do \(\displaystyle{ 1}\) więc pytanie nie jest do końca jasne. Dlatego też w innym temacie już tu linkowanym starałem się wyciągnąć od Ciebie co dokładnie rozumiesz przez \(\displaystyle{ \approx }\). I między innymi dlatego zaproponowałem Ci formalizację \(\displaystyle{ \approx }\) i pokazałem jak nadać przybliżeniu wymierny sens który można mierzyć jakościowo i ilościowo. Pod stwierdzeniem "pewne rachunki" kryło się tu spostrzeżenie:
\(\displaystyle{ \left( 1- \frac{1}{n} \right) ^a= \left( \left( 1- \frac{1}{n} \right)^{n}\right) ^{a/n} \approx \left( e^{-1}\right)^{a/n} = e^{-a/n}}\)
nic poza tym. Bo to jest robione nieformalnie. Należy tylko rozumieć w jakim sensie używamy tego przybliżenia. Przykład sensownego użycia:
\(\displaystyle{ (1-1/2000000)^{1000000} \approx 0.606530\red{5} \qquad \& \qquad e^{-1/2} \approx 0.606530\red{6} }\)
motywacją do takiego przybliżenia jest fakt, że lewą stronę liczy się stosunkowo trudno, a prawą każdy kalkulator policzy. Na koniec powiem tylko, że tu nie ma nic do dowodzenia bo nie postawiłeś formalnego pytania. Póki co ja i a4karo pokazujemy mniej lub bardziej sensowne interpretacji \(\displaystyle{ \approx}\).