Szereg Taylora/Liczba Eulera w zadaniu ze statystyki

Procesy stochastyczne. Sposoby racjonalizowania wielkich ilości informacji. Matematyka w naukach społecznych.
Tomasz22
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 66
Rejestracja: 23 mar 2022, o 22:52
Płeć: Mężczyzna
wiek: 22

Szereg Taylora/Liczba Eulera w zadaniu ze statystyki

Post autor: Tomasz22 »

Jak rozwiązać poniższe zadanie ze statystyki (czy też rachunku prawdopodobieństwa, ale ponieważ pojawiło się na przedmiocie "Statystyka", to umieszczam je w tym temacie)???

X raz w tygodniu kupuje kupon LottoLos (7 z 49 liczb). Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że nigdy nie trafi 7 cyfr w jednym kuponie, jeśli ten proceder będzie trwał 20 lat?

Na zajęciach doszliśmy do czegoś takiego i prowadzący powiedział, że trzeba tę ostatnią linijkę rozwinąć w szereg Taylora albo/lub (nie pamiętam już którego spójnika użył, bo to było 3 tygodnie temu) liczbę Eulera, ale ja nie wiem jak to zrobić i - z tego co się pytałem moich kolegów i koleżanek - oni również nie wiedzą. A prowadzący jak do niego zgłaszasz się o pomoc... A, przemilczę to lepiej.

\(\displaystyle{
\Omega = \{ \{ a_{1}, a_{2}, ..., a_{7} \} : a_{i} \in \{ 1, ..., 49 \}, a_{i} \neq a_{j} \quad dla \quad i \neq j \}
\\
\left| \Omega \right| = {49 \choose 7} = 85 900 584
\\
P(A) = \frac{1}{\left| \Omega \right| }
\\
P(x_{n} = 0) = {n \choose 0} \cdot p^{0} \cdot (1 - p^{n}) = 1 - p^{n} \Rightarrow (1 - p)^{20 \cdot 52}, bo \quad w \quad roku \quad 52 \quad tygodnie \quad a \quad gra \quad przez \quad 20 \quad lat \quad
\\
(1 - p)^{20 \cdot 52} = (1 - \frac{1}{\left| \Omega \right| })^{1040}
}\)


Niestety nie wiem jak zrobić nową linię, ponieważ \newline ani \\ nie działa, działa tylko \\*, więc gwiazdki proszę zignorować :oops:
Ostatnio zmieniony 22 paź 2022, o 15:15 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4060
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 79 razy
Pomógł: 1391 razy

Re: Szereg Taylora/Liczba Eulera w zadaniu ze statystyki

Post autor: Janusz Tracz »

Być może prowadzący chce zmusić studentów do myślenia. To czcigodna postawa. Ale dam wskazówki o co mogło chodzić:
  • Obliczając wartość wyrażanie \(\displaystyle{ (1 - x)^a}\) dla relatywnie małych wartości \(\displaystyle{ x}\) w stosunku do \(\displaystyle{ a}\) można skorzystać z przybliżenia
    \(\displaystyle{ (1 - x)^a \approx 1-a x+ \frac{(a-1) a}{2} x^2 }\)
    lub nawet \(\displaystyle{ 1-a x}\). Błąd takiego przybliżenia powinien być mały. To mógł mieć na myśli prowadzący mówiąc o wzorze Taylora.
  • Innym pomysłem standardowym dla ludzi który widzieli aproksymację rozkładu dwumianowego rozkładem Poissona jest zauważanie liczby \(\displaystyle{ e}\) w rachunkach. Chcąc policzyć \(\displaystyle{ (1-1/n)^a}\) dla dużego \(\displaystyle{ n}\) tu \(\displaystyle{ |\Omega|}\) można zauważyć, że
    \(\displaystyle{ \left( 1- \frac{1}{n} \right) ^a= \boxed{\text{pewne rachunki}} \approx e^{-a/n}.}\)
    Przy czym jako ćwiczenie zostawiam udowodnienie tych wzorów.
Niemniej jednak warto upewnić się czy to prowadzący miał na myśli. Ja się tylko domyślam, że mogło chodzić o coś takiego.
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34123
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Szereg Taylora/Liczba Eulera w zadaniu ze statystyki

Post autor: Jan Kraszewski »

Tomasz22 pisze: 22 paź 2022, o 13:56Niestety nie wiem jak zrobić nową linię, ponieważ \newline ani \\ nie działa, działa tylko \\*, więc gwiazdki proszę zignorować :oops:
\newline nie działa, ale \\ działa bardzo dobrze.

JK
Tomasz22
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 66
Rejestracja: 23 mar 2022, o 22:52
Płeć: Mężczyzna
wiek: 22

Re: Szereg Taylora/Liczba Eulera w zadaniu ze statystyki

Post autor: Tomasz22 »

Janusz Tracz pisze: 22 paź 2022, o 14:36 Być może prowadzący chce zmusić studentów do myślenia. To czcigodna postawa. Ale dam wskazówki o co mogło chodzić:
  • Obliczając wartość wyrażanie \(\displaystyle{ (1 - x)^a}\) dla relatywnie małych wartości \(\displaystyle{ x}\) w stosunku do \(\displaystyle{ a}\) można skorzystać z przybliżenia
    \(\displaystyle{ (1 - x)^a \approx 1-a x+ \frac{(a-1) a}{2} x^2 }\)
    lub nawet \(\displaystyle{ 1-a x}\). Błąd takiego przybliżenia powinien być mały. To mógł mieć na myśli prowadzący mówiąc o wzorze Taylora.
  • Innym pomysłem standardowym dla ludzi który widzieli aproksymację rozkładu dwumianowego rozkładem Poissona jest zauważanie liczby \(\displaystyle{ e}\) w rachunkach. Chcąc policzyć \(\displaystyle{ (1-1/n)^a}\) dla dużego \(\displaystyle{ n}\) tu \(\displaystyle{ |\Omega|}\) można zauważyć, że
    \(\displaystyle{ \left( 1- \frac{1}{n} \right) ^a= \boxed{\text{pewne rachunki}} \approx e^{-a/n}.}\)
    Przy czym jako ćwiczenie zostawiam udowodnienie tych wzorów.
Niemniej jednak warto upewnić się czy to prowadzący miał na myśli. Ja się tylko domyślam, że mogło chodzić o coś takiego.
Dziękuję bardzo za pomoc :) Właśnie o to chodziło prowadzącemu. Dopytałem się również czy moja intuicja, aby ten drugi wzorek udowodnić poprzez przejścia graniczne mnie nie zawodzi. Na szczęście nie ;) Prowadzący powiedział również, że mogę spróbować użyć przybliżenia za pomocą liczb/rozwinięcia Stirlinga, aby porównać jeszcze dokładniej czy zawsze wyjdzie ten sam wynik, ale to już zrobię na własną rękę i w razie pojawienia się jakichś wątpliwości odnośnie tego mimo przejrzenia całej masy stron internetowych, to najwyżej założę nowy temat.

Dodano po 15 dniach 18 godzinach 29 minutach 53 sekundach:
Janusz Tracz pisze: 22 paź 2022, o 14:36 Być może prowadzący chce zmusić studentów do myślenia. To czcigodna postawa. Ale dam wskazówki o co mogło chodzić:
  • Obliczając wartość wyrażanie \(\displaystyle{ (1 - x)^a}\) dla relatywnie małych wartości \(\displaystyle{ x}\) w stosunku do \(\displaystyle{ a}\) można skorzystać z przybliżenia
    \(\displaystyle{ (1 - x)^a \approx 1-a x+ \frac{(a-1) a}{2} x^2 }\)
    lub nawet \(\displaystyle{ 1-a x}\). Błąd takiego przybliżenia powinien być mały. To mógł mieć na myśli prowadzący mówiąc o wzorze Taylora.
  • Innym pomysłem standardowym dla ludzi który widzieli aproksymację rozkładu dwumianowego rozkładem Poissona jest zauważanie liczby \(\displaystyle{ e}\) w rachunkach. Chcąc policzyć \(\displaystyle{ (1-1/n)^a}\) dla dużego \(\displaystyle{ n}\) tu \(\displaystyle{ |\Omega|}\) można zauważyć, że
    \(\displaystyle{ \left( 1- \frac{1}{n} \right) ^a= \boxed{\text{pewne rachunki}} \approx e^{-a/n}.}\)
    Przy czym jako ćwiczenie zostawiam udowodnienie tych wzorów.
Niemniej jednak warto upewnić się czy to prowadzący miał na myśli. Ja się tylko domyślam, że mogło chodzić o coś takiego.
Z twierdzeniem/wzorem Taylora sobie poradziłem. Mam natomiast problem z udowodnieniem tego:
\(\displaystyle{ \left( 1- \frac{1}{n} \right) ^a= \boxed{\text{pewne rachunki}} \approx e^{-a/n}.}\)
.
Udowodniłem, że granica oznaczana liczbą \(\displaystyle{ e}\) istnieje za pomocą twierdzenia o tym, że ciąg rosnący i ograniczony jest zbieżny (w tym lematu mówiącego o tym, że dla każdego \(\displaystyle{ n \ge 3}\) mamy \(\displaystyle{ n!>2^{n-1}}\), nierówności Bernoulliego z \(\displaystyle{ r=n+1 \ge 2}\) i \(\displaystyle{ x=- \frac{1}{(n+1)^{2}} > -1}\) przy rośnięciu a przy ograniczoności z tego, że skoro jest to ciąg liczb dodatnich, to wystarczy udowodnić, że jest on ograniczony z góry a aby to uczynić ze wzoru dwumianowego Newtona, powyższego lematu, wzoru na sumę skończonego ciągu geometrycznego) i próbowałem to zastosować do wzoru, który mam udowodnić, ale nie wyszło. Jakieś inne wskazówki? Przejść granicznych też próbowałem przy dowodzie samej liczby \(\displaystyle{ e}\) i wyśrodkowanego wzoru, ale... Po pierwsze - nie jestem z nich za dobry, po drugie - szukałem wiadomości o nich w Internecie, ale niestety nic nie mogę znaleźć. Za to wyszukałem całą masę informacji o przejściach granicznych w sensie mapy świata a przy szukaniu dowodów na istnienie liczby \(\displaystyle{ e}\) i powyższego wzoru makabrycznie wiele o dowodach osobistych i ich elektronicznych odpowiednikach.
Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4060
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 79 razy
Pomógł: 1391 razy

Re: Szereg Taylora/Liczba Eulera w zadaniu ze statystyki

Post autor: Janusz Tracz »

Więc powtórzę raz jeszcze. Znaczek \(\displaystyle{ \approx }\) nie ma w matematyce formalnej definicji która jest powszechnie przyjęta tak jak to mają znaczki \(\displaystyle{ \ge , \le, \in, \subseteq }\). Przykładowo \(\displaystyle{ \pi \approx 3}\) czy \(\displaystyle{ \pi \approx 3.14}\)? A może żadne z tych. Znaczek \(\displaystyle{ \approx }\) można traktować nieformalnie jako coś relatywnie i racjonalnie bliskiego cokolwiek to znaczy. Jak jesteś inżynierem i piszesz rachunki z \(\displaystyle{ \approx }\) to robisz to na tyle racjonalnie aby most się nie zawalił, a rakieta latała. To nieformalne podejście daje w pewnym sensie wolność rachunkową i pozwala napisać to co napisał Ci a4karo w temacie: Dowód na granicę z liczbą \(\displaystyle{ e}\)
a4karo pisze: 12 lis 2022, o 20:08 Ja tak, to masz `(1-1/n)^n\approx e^{-1}` stąd `(1-1/n)^{an}\approx e^{-a}` a stąd `(1-1/n)^{a}\approx e^{-a/n}`
ale to nieformalne podejście ma też pewne luki (w formalizmie) które próbowałem Ci wskazać pisząc przekornie, że lewa jak i prawa strona dążą do \(\displaystyle{ 1}\) więc pytanie nie jest do końca jasne. Dlatego też w innym temacie już tu linkowanym starałem się wyciągnąć od Ciebie co dokładnie rozumiesz przez \(\displaystyle{ \approx }\). I między innymi dlatego zaproponowałem Ci formalizację \(\displaystyle{ \approx }\) i pokazałem jak nadać przybliżeniu wymierny sens który można mierzyć jakościowo i ilościowo. Pod stwierdzeniem "pewne rachunki" kryło się tu spostrzeżenie:

\(\displaystyle{ \left( 1- \frac{1}{n} \right) ^a= \left( \left( 1- \frac{1}{n} \right)^{n}\right) ^{a/n} \approx \left( e^{-1}\right)^{a/n} = e^{-a/n}}\)

nic poza tym. Bo to jest robione nieformalnie. Należy tylko rozumieć w jakim sensie używamy tego przybliżenia. Przykład sensownego użycia:

\(\displaystyle{ (1-1/2000000)^{1000000} \approx 0.606530\red{5} \qquad \& \qquad e^{-1/2} \approx 0.606530\red{6} }\)

motywacją do takiego przybliżenia jest fakt, że lewą stronę liczy się stosunkowo trudno, a prawą każdy kalkulator policzy. Na koniec powiem tylko, że tu nie ma nic do dowodzenia bo nie postawiłeś formalnego pytania. Póki co ja i a4karo pokazujemy mniej lub bardziej sensowne interpretacji \(\displaystyle{ \approx}\).
ODPOWIEDZ