Suma zmiennych losowych

clarksontom41 · Post autor: **clarksontom41** » 13 mar 2010, o 23:11

Niech \(\displaystyle{ X_i,\ldots,X_n}\) beda zmiennymi losowymi z \(\displaystyle{ N(0,1)}\). Zdefiniuj nastepujace zminne losowe.
\(\displaystyle{ Z_1= \left|\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}X_i \right|}\)
\(\displaystyle{ Z_2= \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}\left|X_i \right|}\)
Oblicz wartosc oczekiwana \(\displaystyle{ Z_1}\) i \(\displaystyle{ Z_2}\)

Z gory dziekuje za pomoc!

luka52 · Post autor: **luka52** » 14 mar 2010, o 11:10

Zmienna losowa \(\displaystyle{ X = \sum_{i=1}^{n}X_i}\) ma oczywiście rozkład \(\displaystyle{ \mathcal{N} (0, n)}\). Stąd można wyznaczyć, że funkcja gęstości prawdopodobieństwa zmiennej \(\displaystyle{ |X|}\) będzie dana wzorem:

\(\displaystyle{ \begin{cases} \frac{2}{ \sqrt{2 \pi n}} e^{- \frac{x^2}{2 n}} & \mbox {dla} \; x \ge 0 \\ 0 & \mbox {dla} \; x < 0 \end{cases}}\)

Obliczenie wartości oczekiwanej sprowadza się do

\(\displaystyle{ \mathbb{E} (Z_1) = \frac{1}{n} \cdot \mathbb{E} (|X|) = \int_0^{+\infty} \frac{2 x}{n \sqrt{2 \pi n}} e^{- \frac{x^2}{2 n}} \; \mbox d x = \sqrt{\frac{2}{\pi n}}}\)

Przyjmując w powyższym wzorze \(\displaystyle{ n=1}\) otrzymamy wartość \(\displaystyle{ \mathbb{E} \left( |X_1| \right)}\), stąd:

\(\displaystyle{ \mathbb{E} (Z_2) = \frac{1}{n} \cdot n \cdot \mathbb{E}\left( |X_1| \right) = \sqrt{\frac{2}{\pi}}}\)