Matematyka.pl

W ciągu dnia firma budowlana zużywa \(\displaystyle{ X}\) ton żwiru, przy czym \(\displaystyle{ X}\) jest zmienną losową o dystrybuancie:
\(\displaystyle{ F(x) = \begin{cases} 0 &\text{dla } x \le 0\\\frac{1}{9} x ^{2} &\text{dla } 0<x \le 3\\1 &\text{dla } x>3 \end{cases}}\)

a) Obliczyć średnie zużycie żwiru w ciągu dnia.
b) Obliczyć prawdopodobieństwo, że firma zużyje mniej niż 1 tonę żwiru w ciągu dnia.
c) Obliczyć prawdopodobieństwa, że w okresie 300 dni będą co najmniej dwa dni, w których firma zużyje mniej niż 1 tonę żwiru.

Jakby ktoś mógł mnie nakierować jak rozpisać tutaj jakieś początkowe równania to byłabym wdzięczna.

Gęstość zmiennej losowej \(\displaystyle{ X }\)

\(\displaystyle{ f(x) = F'(x) = \begin{cases} 0 \ \ \mbox{dla} \ \ x\leq 0 \\ \frac{2}{9}x \ \ \mbox{dla} \ \ 0 < x \leq 3 \\ 0 \ \ \mbox{dla} \ \ x > 3 \end{cases}.}\)

a)
\(\displaystyle{ E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x\cdot f(x) dx = \int_{-\infty}^{0}x\cdot o dx + \int_{0}^{3}x\cdot \frac{2}{9}x dx + \int_{3}^{\infty}x\cdot 0 dx = \left[\frac{2}{9}\cdot\frac{x^3}{3}\right]_{0}^{3} = \frac{2}{9}\cdot \left[ \frac{3^3}{3}- \frac{0^3}{3}\right] = \frac{2}{9}\cdot \frac{27}{3}= 2 t. }\)

b)
I sposób
\(\displaystyle{ \Pr(\{ X<1 t\}) = F(1) - F(0) = \frac{1}{9}\cdot 1^2 - 0 = \frac{1}{9} .}\)

II sposób
\(\displaystyle{ \Pr (\{X<1t\}) = \int_{0}^{1} \frac{2}{9}x dx = \left[ \frac{2}{9}\cdot \frac{x^2}{2}\right]_{0}^{1} =\left[\frac{x^2}{9}\right]_{0}^{1}= \frac{1^2}{9}- \frac{0^2}{9} = \frac{1}{9}- 0 = \frac{1}{9}.}\)

c)