Matematyka.pl

Poziom zatrudnienia X (w tys. osób) oraz wielkość produkcji Y (w tys. ton) w 8 przedsiębiorstwach przemysłowych kształtowały się następująco:
X 0,9 1,0 1,2 1,2 1,4 1,4 1,5 1,6
Y 2,0 2,3 2,6 2,5 3,0 3,1 3,2 3,4
Obliczyć i zinterpretować wartość współczynnika korelacji liniowej Pearsona pomiędzy tymi zmiennymi.

Siedmiu uczniów rozwiązywało dwa testy psychologiczne. Wyniki przedstawia tabela:

X 20 19 18 18 17 16 15
Y 19 20 20 18 17 15 15
Czy można uznać, że występuje zależność między wynikami testów? Do oceny wykorzystać współczynnik korelacji rang.

W tabeli przedstawiono zależność ceny działek budowlanych Y (tys.zł/m2) od odległości od centrum X (w km)
X 0 1 2 3 4 5 6
Y 14 11 10 9 8 6 5
a) oszacować równanie regresji o postaci: yi=α + βxi + ξi
b) ocenić jakość dopasowania w oparciu o parametry struktury stochastycznej: S2(u), S(u), V(u) i φ2

Zadanie 1

Średnia wartość zatrudnienia \(\displaystyle{ X }\) i średnia wartość produkcji \(\displaystyle{ Y }\)

\(\displaystyle{ \overline{x} = \frac{0,9+1,0+1,2+1,2+1,4+1,4+1,5+1,6}{8} = 1,2750, }\)

\(\displaystyle{ \overline{y} = \frac{2,0+2,3+2,6+2,5+3,0+3,1+3,2+3,4}{8}= 2,7625. }\)

Tabela

\(\displaystyle{ \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
x_{i} & y_{i} & x_{i}-\overline{x} & (x_{i}-\overline{x})^2 & y_{i}- \overline{y} & (y_{i}- \overline{y})^2 & (x_{i}-\overline{x})(y_{i}- \overline{y}) \\
\hline
0,9 & 2,0 & -0,375 & 0,140625 & -0,7625 & 0,5814062 & 0,2859375 \\
\hline
1,0 & 2,3 & -0,275 & 0,075625 & -0,4625 & 0,2139063 & 0,1271875 \\
\hline
1,2 & 2,6 & -0,075 & 0,005625 & -0,1625 & 0,02640625 & 0,0121875 \\
\hline
1,2 & 2,5 & -0,075 & 0,005625 & -0,2625 & 0,06890625 & 0,0196875 \\
\hline
1,4 & 3,0 & 0,125 & 0,015625 & 0,2375 & 0,05640625 & 0,0296875 \\
\hline
1,4 & 3,1 & 0,125 & 0,015625 & 0,3375 & 0,11388625 & 0,0421875 \\
\hline
1,5 & 3,2 & 0,225 & 0,050625 & 0,4375 & 0,19140625 & 0,08203125 \\
\hline
1,6 & 3,4 & 0,325 & 0,105625 & 0,6375 & 0,40640625 & 0,2071875 \\
\hline 10,2 & 22,1 & 0 & 0,415 & 0 & 1,65873 & 0,80609375 \\
\hline
\end{tabular} }\)

Wartość współczynnika korelacji Pearsona

\(\displaystyle{ r = \frac{0,80609375}{\sqrt{0,415\cdot 1,65873}} \approx 0,97. }\)

Z wartości bliskiej jedności współczynnika korelacji Pearsona \(\displaystyle{ r }\) wynika, że występuje silna korelacja liniowa między wielkością poziomu zatrudnienia \(\displaystyle{ X }\) i wielkością produkcji \(\displaystyle{ Y. }\)

Z dodatności współczynnika wynika, że wzraz ze wzrostem zatrudnienia wzrasta wielkość produkcji.

Dodano po 2 godzinach 35 minutach 41 sekundach:
Zadanie 2

Test korelacji rang Spearmana.

Hipotezy

\(\displaystyle{ H_{0}: \ \ \rho_{s} = 0 }\)

\(\displaystyle{ H_{1}: \ \ \rho_{s} = 1 }\)

Wartość współczynnika rang Spearmana z próby:

\(\displaystyle{ r_{s} = \frac{6(1^2 +(-1)^2 +(-2)^2 + 0^2+1^2+0^2)}{7(7^2 -1)} = \frac{6\cdot 7}{7\cdot 48}= \frac{6}{48}= \frac{1}{8}=0,125. }\)

Z tablicy wartości krytycznych rang Spearmana dla poziomu istotności \(\displaystyle{ \alpha = 0.05 }\) i \(\displaystyle{ n=7 }\) - odczytujemy wartość

krytyczną współczynnika

\(\displaystyle{ r_{s}(0,05; 7) = 0,714. }\)

Zachodzi nierówność:

\(\displaystyle{ r_{s} = 0,125 < r_{s}(0,05; 7) = 0,714. }\)

Decyzja

Hipotezę zerową \(\displaystyle{ H_{0} }\) o braku zależności między testami przyjmujemy, odrzucając hipotezę alternatywną \(\displaystyle{ H_{1}.}\)