Matematyka.pl

Dzień dobry,
prosiłbym o podpowiedź jak rozwiązać niniejsze zadanie:

Załóżmy, że cena za litr benzyny ma rozkład normalny N(µ, 1) o nieznanym µ. Na podstawie próby \(\displaystyle{ X_{1} ... X_{30} }\)
z 30 stacji benzynowych otrzymano średnią \(\displaystyle{ \hat{X} = 4.9 }\), a następnie testem najmocniejszym testowano hipotezę H0 : µ = 4.5 przeciw H1 : µ > 4.5 na poziomie istotności 0.01. (i) Ile wynosi moc testu w µ = 5.0? (ii) Ile wynosi p-wartość statystyki testowej?

Test t- Studenta dla średniej

Populacja ma rozkład normalny \(\displaystyle{ \mathcal{N}(\mu, 1) }\) o nieznanej wartości średniej \(\displaystyle{ \mu }\) i znanym odchyleniu standardowym \(\displaystyle{ \sigma = 1.}\)

Z populacji wylosowano próbę

\(\displaystyle{ X_{1}, X_{2}, \ \ ... X_{30} }\)

i obliczono średnią:

\(\displaystyle{ \overline{X} = 4,9 \ \ \frac{zł}{l} }\)

i przeprowadzono test najmocniejszy dla sprawdzenia hipotez:

\(\displaystyle{ H_{0} : \mu_{0} = 4,5 \ \ \frac{zł}{l} }\)

\(\displaystyle{ H_{1}: \mu_{0} > 4,5 \ \ \frac{zł}{l} }\)

na poziomie istotności \(\displaystyle{ \alpha = 0,01. }\)


(i)

Mocą testu nazywamy prawdopodobieństwo odrzucenia hipotezy \(\displaystyle{ H_{0}, }\) gdy jest ona fałszywa.

\(\displaystyle{ \beta(5,0) = P(\overline{X}_{30} > 4,5 | \mu = 5,0) = }\)
\(\displaystyle{ = P \left (\frac{\overline{X}_{30}-\mu_{0}}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}} \geq \frac{4,5 - 5,0}{\frac{1}{\sqrt{30}}} \right) = P \left( Z \geq -2,74 \right ) = 1 - P( Z < -2,74) = 0,997.}\)

(ii)

p - wartością (p-value) dla punktu próby \(\displaystyle{ (x_{1}, x_{2},\ \ ... x_{30}) }\) nazywamy najmniejszą wartość \(\displaystyle{ \alpha, }\) dla której ten punkt próby będzie prowadził do odrzucenia hipotezy \(\displaystyle{ H_{0}. }\)

Obliczamy wartość statystyki \(\displaystyle{ t -Studenta }\) dla \(\displaystyle{ \overline{x}_{30} = 4,9. }\)

\(\displaystyle{ t = \frac{4,9-4,5}{\frac{1}{\sqrt{30}}} = 2,19. }\)

Z tablic rozkładu \(\displaystyle{ t-Studenta }\) dla \(\displaystyle{ \alpha = 0.01 }\) i \(\displaystyle{ \nu = n-1 = 30-1 =29 }\) stopni swobody odczytujemy, że wartość statystyki \(\displaystyle{ t \in ( 2,045, 2 ,457) }\) , co odpowiada \(\displaystyle{ p -value \in ( 0,02, 0,05)}\) dla testu jednostronnego.

Jaka decyzja ?

\(\displaystyle{ \alpha = 0,01 < 0,02 }\) - nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy \(\displaystyle{ H_{0}. }\)