Jeżeli ktoś jest skłonny mi pomóc to bardzo proszę
Firma Cateringowa chce oszacować, jaki procent pracujących w dużej dzielnicy miasta „Z”
korzystałby z jej usług. W tym celu wylosowano niezależnie do próby 900 pracowników,
wśród których 300 chciałoby skorzystać z jej usług. Jaki procent pracowników w tej dzielnicy
chciałby korzystać z usług firmy Cateringowej? Uzasadnić wybór metody wnioskowania i
wyniki zinterpretować.
Prawdopodobieństwo (Jedno zadanie)
-
- Użytkownik
- Posty: 7917
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Re: Prawdopodobieństwo (Jedno zadanie)
Przedział ufności dla proporcji
\(\displaystyle{ \hat{p} = \frac{300}{900} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}.}\)
\(\displaystyle{ \Pr \left(\hat{p} - z_{\alpha}\cdot \sqrt{\frac{\hat{p}(1- \hat{p})}{n}} \leq p \leq \hat{p} + z_{\alpha}\cdot \sqrt{\frac{\hat{p}(1- \hat{p})}{n}} \right) = 1-\alpha .}\)
Przyjmujemy poziom ufności \(\displaystyle{ 1- \alpha = 0,95.}\)
Wartość kwantyla rzędu \(\displaystyle{ \alpha, \ \ z_{\alpha} }\) obliczamy z tablic dystrybuanty standaryzowanego rozkładu normalnego lub programu komputerowego na przykład R.
Program R
\(\displaystyle{ \Pr\left(\frac{1}{3} - 1,96\cdot \sqrt{\frac{\frac{1}{3}\cdot \left(1- \frac{1}{3}\right)}{900}} \leq p \leq \frac{1}{3} + 1,96\cdot \sqrt{\frac{\frac{1}{3}\cdot \left(1- \frac{1}{3} \right )}{900}} \right) = 0,95.}\)
\(\displaystyle{ \Pr( 0,32 \leq p \leq 0,35) = 0,95 }\)
Interpretacja otrzymanego przedziału ufności
Z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ 0,95 }\) należy oczekiwać, że przedział ufności o końcach \(\displaystyle{ 32\%, 35\% }\) należy do podzbioru tych przedziałów ufności, które pokryje prawdopodobieństwo wylosowania pracownika dzielnicy miasta Z, korzystającego z usług firmy Cateringowej z całej ich populacji.
Stąd wynika, że \(\displaystyle{ 30\% \pm 2,5\% }\) pracowników chciałoby korzystać z usług Firmy Cateringowej.
\(\displaystyle{ \hat{p} = \frac{300}{900} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}.}\)
\(\displaystyle{ \Pr \left(\hat{p} - z_{\alpha}\cdot \sqrt{\frac{\hat{p}(1- \hat{p})}{n}} \leq p \leq \hat{p} + z_{\alpha}\cdot \sqrt{\frac{\hat{p}(1- \hat{p})}{n}} \right) = 1-\alpha .}\)
Przyjmujemy poziom ufności \(\displaystyle{ 1- \alpha = 0,95.}\)
Wartość kwantyla rzędu \(\displaystyle{ \alpha, \ \ z_{\alpha} }\) obliczamy z tablic dystrybuanty standaryzowanego rozkładu normalnego lub programu komputerowego na przykład R.
Program R
Kod: Zaznacz cały
> zalpha = qnorm(0.975)
> zalpha
[1] 1.959964
\(\displaystyle{ \Pr\left(\frac{1}{3} - 1,96\cdot \sqrt{\frac{\frac{1}{3}\cdot \left(1- \frac{1}{3}\right)}{900}} \leq p \leq \frac{1}{3} + 1,96\cdot \sqrt{\frac{\frac{1}{3}\cdot \left(1- \frac{1}{3} \right )}{900}} \right) = 0,95.}\)
\(\displaystyle{ \Pr( 0,32 \leq p \leq 0,35) = 0,95 }\)
Interpretacja otrzymanego przedziału ufności
Z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ 0,95 }\) należy oczekiwać, że przedział ufności o końcach \(\displaystyle{ 32\%, 35\% }\) należy do podzbioru tych przedziałów ufności, które pokryje prawdopodobieństwo wylosowania pracownika dzielnicy miasta Z, korzystającego z usług firmy Cateringowej z całej ich populacji.
Stąd wynika, że \(\displaystyle{ 30\% \pm 2,5\% }\) pracowników chciałoby korzystać z usług Firmy Cateringowej.