Matematyka.pl

Cześć,

Mam do rozwiązania pewien problem i nie bardzo wiem jak sobie z tym poradzić. Generalnie chodzi o to, że:

1. Kwadrat odchylenia standardowego można zapisać jako:

\(\displaystyle{ \sigma^2=E[X^2]-E[X]^2}\).

To jest dobrze znany wzór, \(\displaystyle{ E}\) oznacza wartość średnią, a \(\displaystyle{ X}\) to zmienna losowa.

2. Chcę sprawdzić czy to odchylenie standardowe (tzn. kwadrat odchylenia st.) można zapisać alternatywnie jako:

\(\displaystyle{ \sigma^2=E[1/X]\cdot E[X]^3-E[X]^2}\) co sprowadza się do udowodnienia, że \(\displaystyle{ E[1/X]\cdot E[X]^3=E[X^2].}\)

Sprawdzałem to numerycznie dla kilku rozkładów gęstości prawdopodobieństwa i dostawałem zgodność więc chyba coś jest na rzeczy. Ale nie potrafię tego udowodnić - czy to jest wykonalne? Dodam, że rozkłady gęstości prawdopodobieństwa, które biorę pod uwagę są określone w dziedzinie od zera do nieskończoności, w zerze mają wartość równą zero (nie wiem czy to ma znaczenie).

Pozdrawiam,
Grzesiek

Nie trzeba daleko szukać. Rozważ rozkład dwupunktowy dany warunkami \(\displaystyle{ P(X=1)=P(X=2)=\frac12}\).

Chociaż rzeczywiście bardzo bliskie wyniki.

Równość na wariancję

\(\displaystyle{ \sigma^2 = E\left[\frac{1}{X}\right]\cdot E[X]^3 - E[X^2] }\) jest nieprawdziwa, chociaż jak Pan pisze była numerycznie sprawdzana na kilku rozkładach ze zgodnością.

Dlaczego? Dlatego , że \(\displaystyle{ E\left[\frac{1}{X}\right] \neq \frac{1}{E[X]}.}\)

Dziękuję za odpowiedzi. Faktycznie, wzór nie jest prawdziwy. Chyba miałem pecha bo sprawdzałem go numerycznie m.in. dla rozkładu log-normalnego i tam przypadkiem dawał dobre wyniki. Ale ogólnie nie działa.