Norma Fortet-Mouriera
-
- Użytkownik
- Posty: 5
- Rejestracja: 25 lip 2021, o 20:35
- Płeć: Kobieta
- wiek: 22
Norma Fortet-Mouriera
Chciałabym pokazać, że norma Fortet-Mouriera jest poprawnie określona. Nie wiem nawet od czego zacząć. Niby mam przed sobą 3 warunki na to aby była norma, jednak nie wiem jak w przypadku tej konkretnej to zastosować. Bardzo proszę o pomoc
-
- Użytkownik
- Posty: 157
- Rejestracja: 23 sty 2020, o 16:16
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 30
- Podziękował: 14 razy
- Pomógł: 18 razy
Re: Norma Fortet-Mouriera
Chętnie bym spróbował pomóc, ale nie mam pojęcia co to za norma. Biorąc pod uwagę, że znalazło się to w dziale Statystyka, to pewnie ma być norma na jakiejś przestrzeni miar (miar ze znakiem). Myślę, że zwiększysz szansę na uzyskanie pomocy, jeśli napiszesz dokładnie co to ma być za norma i na jakiej przestrzeni.
-
- Użytkownik
- Posty: 5
- Rejestracja: 25 lip 2021, o 20:35
- Płeć: Kobieta
- wiek: 22
-
- Użytkownik
- Posty: 157
- Rejestracja: 23 sty 2020, o 16:16
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 30
- Podziękował: 14 razy
- Pomógł: 18 razy
Re: Norma Fortet-Mouriera
Zakładam, że ta rodzina \(\displaystyle{ \mathcal{F}_{FM}}\) składa się ze wszystkich funkcji ciągłych, ograniczonych co do wartości bezwzględnej przez 1 i nierozszerzających? (Coś takiego znalazłem w jednym z losowych artykułów na necie)?
Wydaje mi się, że na przestrzeni dowolnych miar ze znakiem to nie będzie norma w normalnym sensie, bo może przyjmować wartość \(\displaystyle{ \infty }\), ale jeśli przymkniemy na to oko, to:
1. Prawdę mówiąc mam problem z pierwszym warunkiem normy, tzn.
\(\displaystyle{ ||\mu|| = 0 \implies \mu = 0}\)
Trzeba pokazać, że jeżeli dla każdej \(\displaystyle{ f \in \mathcal{F}_{FM}}\) całka \(\displaystyle{ \langle f,\mu \rangle}\) się zeruje, to znaczy że \(\displaystyle{ \mu}\) jest miarą zerową. Wydaje mi się, że było takie pojęcie jak klasa funkcji definiujących miarę i twierdzenie dające warunki dostateczne dla takiej klasy, ale nie mogę sobie przypomnieć gdzie to widziałem. Podejrzewam, że ta klasa może spełniać te warunki i wtedy by było pokazane za darmo. Dowód bezpośredni na chwilę obecną mnie przerasta, ale może coś mi przyjdzie do głowy albo ktoś inny przyjdzie z pomocą.
2. Kolejne warunki normy wynikają stosunkowo łatwo (o ile dobrze myślę) z konstrukcji całki Lebesgue'a i nie trzeba chyba nawet tego wszystkiego o naszych funkcjach zakładać.
\(\displaystyle{ ||\alpha \mu|| = \sup \{ | \langle f, \alpha \mu \rangle|: f \in \mathcal{F}_{FM} \} = \sup \{ |\alpha \langle f, \mu \rangle|: f \in \mathcal{F}_{FM} \} = |\alpha| \sup \{ | \langle f, \mu \rangle|: f \in \mathcal{F}_{FM} \} = |\alpha| ||\mu|| }\)
Oczywiście tutaj jeszcze jest kwestia tego czy \(\displaystyle{ f}\) w ogóle jest całkowalna względem naszej miary, ale rozumiem że takich f dla których nie jest w ogóle nie rozpatrujemy
\(\displaystyle{ ||\mu_1 + \mu_2|| = \sup \{ | \langle f, \mu_1 + \mu_2 \rangle|: f \in \mathcal{F}_{FM} \} = \sup \{ |\langle f, \mu_1 \rangle + \langle f, \mu_2 \rangle |: f \in \mathcal{F}_{FM} \} \leq \sup \{ |\langle f, \mu_1 \rangle| + |\langle f, \mu_2 \rangle |: f \in \mathcal{F}_{FM} \} }\)
\(\displaystyle{ \leq \sup \{ |\langle f, \mu_1 \rangle|: f \in \mathcal{F}_{FM}\} + \sup \{|\langle f, \mu_2 \rangle |: f \in \mathcal{F}_{FM} \} = ||\mu_1|| + ||\mu_2||}\)
Tutaj zakładam podobnie jak wyżej, że rozpatrujemy tylko takie \(\displaystyle{ f}\), że po obu stronach jest wszystko całkowalne.
Z pewnością przedstawione rozumowanie wymaga większej precyzji matematycznej, ale myślę że można to potraktować jako punkt wyjścia.
Dodano po 46 minutach 26 sekundach:
Hm, po zastanowieniu to pewnie tam w przestrzeni miar ze znakiem zakłada się, że składowa dodatnia i ujemna są miarami dodatnimi, więc spora część wątpliwości sama się rozwiązuje (bo \(\displaystyle{ f}\) są ograniczone)
Dodano po 4 dniach 2 godzinach 57 minutach 28 sekundach:
W kontekście nowego tematu dot. normy Wassersteina, czy mogłabyś uzupełnić ten temat o definicję rodziny \(\displaystyle{ \mathcal{F}_{FM}}\)? To co rozpatrywałem podejrzanie przypomina normę Wassersteina o której tam piszesz.
Wydaje mi się, że na przestrzeni dowolnych miar ze znakiem to nie będzie norma w normalnym sensie, bo może przyjmować wartość \(\displaystyle{ \infty }\), ale jeśli przymkniemy na to oko, to:
1. Prawdę mówiąc mam problem z pierwszym warunkiem normy, tzn.
\(\displaystyle{ ||\mu|| = 0 \implies \mu = 0}\)
Trzeba pokazać, że jeżeli dla każdej \(\displaystyle{ f \in \mathcal{F}_{FM}}\) całka \(\displaystyle{ \langle f,\mu \rangle}\) się zeruje, to znaczy że \(\displaystyle{ \mu}\) jest miarą zerową. Wydaje mi się, że było takie pojęcie jak klasa funkcji definiujących miarę i twierdzenie dające warunki dostateczne dla takiej klasy, ale nie mogę sobie przypomnieć gdzie to widziałem. Podejrzewam, że ta klasa może spełniać te warunki i wtedy by było pokazane za darmo. Dowód bezpośredni na chwilę obecną mnie przerasta, ale może coś mi przyjdzie do głowy albo ktoś inny przyjdzie z pomocą.
2. Kolejne warunki normy wynikają stosunkowo łatwo (o ile dobrze myślę) z konstrukcji całki Lebesgue'a i nie trzeba chyba nawet tego wszystkiego o naszych funkcjach zakładać.
\(\displaystyle{ ||\alpha \mu|| = \sup \{ | \langle f, \alpha \mu \rangle|: f \in \mathcal{F}_{FM} \} = \sup \{ |\alpha \langle f, \mu \rangle|: f \in \mathcal{F}_{FM} \} = |\alpha| \sup \{ | \langle f, \mu \rangle|: f \in \mathcal{F}_{FM} \} = |\alpha| ||\mu|| }\)
Oczywiście tutaj jeszcze jest kwestia tego czy \(\displaystyle{ f}\) w ogóle jest całkowalna względem naszej miary, ale rozumiem że takich f dla których nie jest w ogóle nie rozpatrujemy
\(\displaystyle{ ||\mu_1 + \mu_2|| = \sup \{ | \langle f, \mu_1 + \mu_2 \rangle|: f \in \mathcal{F}_{FM} \} = \sup \{ |\langle f, \mu_1 \rangle + \langle f, \mu_2 \rangle |: f \in \mathcal{F}_{FM} \} \leq \sup \{ |\langle f, \mu_1 \rangle| + |\langle f, \mu_2 \rangle |: f \in \mathcal{F}_{FM} \} }\)
\(\displaystyle{ \leq \sup \{ |\langle f, \mu_1 \rangle|: f \in \mathcal{F}_{FM}\} + \sup \{|\langle f, \mu_2 \rangle |: f \in \mathcal{F}_{FM} \} = ||\mu_1|| + ||\mu_2||}\)
Tutaj zakładam podobnie jak wyżej, że rozpatrujemy tylko takie \(\displaystyle{ f}\), że po obu stronach jest wszystko całkowalne.
Z pewnością przedstawione rozumowanie wymaga większej precyzji matematycznej, ale myślę że można to potraktować jako punkt wyjścia.
Dodano po 46 minutach 26 sekundach:
Hm, po zastanowieniu to pewnie tam w przestrzeni miar ze znakiem zakłada się, że składowa dodatnia i ujemna są miarami dodatnimi, więc spora część wątpliwości sama się rozwiązuje (bo \(\displaystyle{ f}\) są ograniczone)
Dodano po 4 dniach 2 godzinach 57 minutach 28 sekundach:
W kontekście nowego tematu dot. normy Wassersteina, czy mogłabyś uzupełnić ten temat o definicję rodziny \(\displaystyle{ \mathcal{F}_{FM}}\)? To co rozpatrywałem podejrzanie przypomina normę Wassersteina o której tam piszesz.