Matematyka.pl

Mamy \(\displaystyle{ n}\) zmiennych losowych \(\displaystyle{ X_{1},...,X_{n}}\).
Są wzajemnie niezależne, gdy dla dowolnego \(\displaystyle{ k}\) naturalnego między \(\displaystyle{ 2}\) a \(\displaystyle{ n}\) zachodzi
(I w ogóle tu jest dziwne bo mamy ciąg indeksów ROSNĄCY od \(\displaystyle{ i_1}\) do \(\displaystyle{ i_k}\) i ja już nic nie rozumiem)
\(\displaystyle{ P(X_{i_1} \in B_{i_1}, \ldots, X_{i_k} \in B_{i_k} ) = P(X_{i_1}\in B_{i_1}) \cdot \ldots \cdot P(X_{i_k} \in B_{i_k})}\)
Są niezależne parami, gdy warunek zachodzi tylko dla \(\displaystyle{ k=2}\)
I trzeba uważać, że pierwszy warunek jest mocniejszy, a drugi jest jego koniecznym.
Podać przykład że drugi warunek zachodzi a pierwszy nie, zarówno dla zmiennych dyskretnych jak i absolutnie ciągłych.
No dobrze. Mamy to głupie indeksowanie, żebyśmy mogli brać nie po kolei co nie? Proszę pomóżcie.

No więc jeżeli wybieramy dowolny ciąg o długości od \(\displaystyle{ 2}\) do \(\displaystyle{ n}\) to możemy wybrać na przykład taki o długości \(\displaystyle{ 2}\).

Ale podać przykład to nie umiem.

Rzucamy kostką czworościenną. Niech \(u\in\{1,2,3,4\}\) to wynik rzutu.
Niech \(X_1 = 1 \iff u\in\{1,2\}\) i \(X_1 = 0 \iff u\in\{3,4\}\).
Niech \(X_2 = 1 \iff u\in\{1,3\}\) i \(X_2 = 0 \iff u\in\{2,4\}\).
Niech \(X_3 = 1 \iff u\in\{2,3\}\) i \(X_3 = 0 \iff u\in\{1,4\}\).

Ciąg indeksów \(i_1,i_2,...,i_k\) w podanej definicji jest rosnący po to aby zagwarantować, że indeksy są (parami) różne.

Niepokonana pisze: ↑28 sty 2024, o 22:17 Są wzajemnie niezależne, gdy dla dowolnego \(\displaystyle{ k}\) naturalnego między \(\displaystyle{ 2}\) a \(\displaystyle{ n}\) zachodzi
(I w ogóle tu jest dziwne bo mamy ciąg indeksów ROSNĄCY od \(\displaystyle{ i_1}\) do \(\displaystyle{ i_k}\) i ja już nic nie rozumiem)
\(\displaystyle{ P(X_{i_1} \in B_{i_1}, \ldots, X_{i_k} \in B_{i_k} ) = P(X_{i_1}\in B_{i_1}) \cdot \ldots \cdot P(X_{i_k} \in B_{i_k})}\)

Nawiasem mówiąc, to niepotrzebnie skomplikowany warunek, bo równoważnie:

\(\displaystyle{ P(X_1 \in B_1, \ldots, X_n \in B_n) = P(X_1 \in B_1) \cdot \ldots \cdot P(X_n \in B_n)}\)

dla dowolnych zbiorów borelowskich \(\displaystyle{ B_1, \ldots, B_n \subseteq \mathbb{R}}\).